Bedingte Erwartung
Die bedingte Erwartung ist die beste Vorhersage einer Zufallsvariablen unter Berücksichtigung der Informationen in einer Sub-Sigma-Algebra, die abstrakt durch den Satz von Radon-Nikodym definiert wird und sich wie eine mittelnde Projektion verhält, die die verfügbaren Informationen berücksichtigt.
Definition
Die bedingte Erwartung einer integrierbaren Zufallsvariablen gegeben eine Sub-Sigma-Algebra ist die bis auf fast sichere Gleichheit eindeutige integrierbare Funktion, die bezüglich dieser Sub-Sigma-Algebra messbar ist und über jede Menge in ihr dasselbe Integral wie die ursprüngliche Variable aufweist.
Scope
Das Thema umfasst die Definition der bedingten Erwartung gegeben eine Sub-Sigma-Algebra, ihre Existenz und fast sichere Eindeutigkeit über den Satz von Radon-Nikodym, die Turm-, das-Bekannte-herausziehen- und bedingte-Jensen-Eigenschaften, die Interpretation als orthogonale Projektion im Raum der quadratintegrierbaren Variablen, bedingte Wahrscheinlichkeit und reguläre bedingte Verteilungen sowie die Rolle der Konditionierung als Motor von Martingalen und der Bayes'schen Aktualisierung.
Core questions
- Wie kann die Erwartung auf Informationen konditioniert werden, die Ereignisse der Wahrscheinlichkeit Null einschließen können?
- Warum ist die bedingte Erwartung nur bis auf eine fast sichere Nullmenge eindeutig?
- In welchem Sinne ist die bedingte Erwartung der beste Prädiktor einer Zufallsvariablen?
- Wie machen die Turm- und die Herauszieh-Eigenschaften die bedingte Erwartung handhabbar?
Key concepts
- konditionierende Sigma-Algebra
- Radon-Nikodym-Ableitung
- Turmeigenschaft
- Kleinste-Quadrate-Projektion
- reguläre bedingte Verteilung
Key theories
- Existenz über Radon-Nikodym
- Die bedingte Erwartung existiert, weil das Maß, das durch Integration der Zufallsvariablen über Mengen der Sub-Sigma-Algebra erhalten wird, absolut stetig bezüglich des eingeschränkten Wahrscheinlichkeitsmaßes ist, und ihre Radon-Nikodym-Ableitung die bedingte Erwartung ist.
- Turmeigenschaft
- Die Konditionierung auf eine gröbere Sigma-Algebra nach der Konditionierung auf eine feinere liefert die gröbere bedingte Erwartung zurück, sodass iterierte Konditionierung auf die gröbste Ebene kollabiert; diese Glättungsidentität ist grundlegend für die Martingaltheorie und Filterung.
- Projektionscharakterisierung
- Für quadratintegrierbare Variablen ist die bedingte Erwartung die orthogonale Projektion auf den Unterraum der Variablen, die bezüglich der konditionierenden Sigma-Algebra messbar sind, was sie zum Kleinste-Quadrate-optimalen Prädiktor unter Berücksichtigung der verfügbaren Informationen macht.
Clinical relevance
Die bedingte Erwartung ist die formale Grundlage für Vorhersage und Aktualisierung unter Unsicherheit: Sie definiert Martingale, liegt dem Kalman-Filter und der nichtlinearen Filterung zugrunde, drückt Bayes'sche posteriore Mittelwerte aus und liefert den arbitragefreien Preis eines Eventualanspruchs als bedingte Erwartung unter einem risikoneutralen Maß.
History
Kolmogorov führte 1933 die allgemeine Definition der bedingten Erwartung bezüglich einer Sigma-Algebra ein und löste die Paradoxa der Konditionierung auf Nullereignisse, indem er sie im Satz von Radon-Nikodym verankerte; Doob machte sie dann zur Grundlage der Martingaltheorie.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Joseph L. Doob
- Johann Radon
- Otton Nikodym
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- Warum ist die bedingte Erwartung eine Zufallsvariable und keine Zahl?
- Weil sie den vorhergesagten Wert für jeden möglichen Zustand der konditionierenden Information kodieren muss; da diese Information über den Stichprobenraum variiert, variiert auch der vorhergesagte Wert, wodurch die bedingte Erwartung eine Funktion wird, die bezüglich der konditionierenden Sigma-Algebra messbar ist.
- Wie verallgemeinert die Konditionierung auf eine Sigma-Algebra die Konditionierung auf ein Ereignis?
- Die Konditionierung auf ein Ereignis positiver Wahrscheinlichkeit ist der Spezialfall, bei dem die Sub-Sigma-Algebra durch dieses Ereignis und sein Komplement erzeugt wird; die allgemeine Definition erweitert dies auf Informationen, die nicht durch ein einzelnes Ereignis positiver Wahrscheinlichkeit erfasst werden können.