Logische Konstanten und Logizität

Die Logik wird gewöhnlich als formal und themenneutral beschrieben, doch dies setzt eine prinzipielle Trennung zwischen logischem Vokabular wie „und“, „alle“ und „nicht“ und dem Rest der Sprache voraus.

Definition

Logische Konstanten sind Ausdrücke (wie Konnektive und Quantoren), deren Bedeutung über alle Interpretationen hinweg feststeht und aufgrund derer die Gültigkeit eines Arguments von seiner Form und nicht von seinem Gegenstand abhängt.

Scope

Dieses Thema behandelt das Abgrenzungsproblem der Logik: Welche Ausdrücke sind logische Konstanten und welche Eigenschaft macht sie dazu. Es werden die führenden Kriterien – Invarianz unter Permutationen des Bereichs (die Tarski-Sher-These), beweistheoretische Kriterien basierend auf harmonischen Einführungs- und Eliminierungsregeln sowie grammatische oder inferentielle Ansätze – und die Bedeutung dieser Frage für die Bestimmung der logischen Form und damit der logischen Konsequenz behandelt.

Core questions

• Welche Ausdrücke gelten als logische Konstanten, und ist die Liste offen oder geschlossen?
• Ist Logizität durch Invarianz unter Permutationen des Bereichs gekennzeichnet?
• Können logische Konstanten rein durch ihre Inferenzregeln charakterisiert werden, und was schränkt zulässige Regeln ein?
• Bestimmt die Wahl der logischen Konstanten die Konsequenzrelation, oder spiegelt sie diese lediglich wider?

Key concepts

• Themenneutralität
• Permutationsinvarianz
• Einführungs- und Eliminierungsregeln
• beweistheoretische Harmonie
• Konservativität
• logische Form

Key theories

Permutationsinvarianz-Kriterium (Tarski-Sher)

Ein Begriff ist logisch, wenn er unter beliebigen Permutationen des Individuenbereichs invariant ist; dies erfasst die Themenneutralität, indem es erfordert, dass logische Begriffe unempfindlich gegenüber den spezifischen existierenden Objekten sind.

Beweistheoretische Harmonie

Ein Konnektiv ist nur dann wirklich logisch, wenn seine Einführungs- und Eliminierungsregeln in Harmonie stehen, sodass keine neuen Theoreme über den Rest der Sprache generiert werden; Belnaps Antwort auf Priors „Tonk“ zeigt, dass beliebige Inferenzregeln keine Konstante definieren können.

History

Genzens Regeln der natürlichen Deduktion aus den 1930er Jahren legten nahe, dass Konnektive durch ihre inferentielle Rolle definiert werden könnten, eine Idee, die durch Priors „Tonk“-Konnektiv von 1960 und Belnaps Antwort von 1962, die Konservativität und Harmonie forderte, präzisiert wurde. Tarskis posthum veröffentlichte Vorlesung von 1966 führte das Permutationsinvarianzkriterium ein, das später zur Tarski-Sher-These als dominantes modelltheoretisches Modell entwickelt wurde.

Debates

Semantische vs. beweistheoretische Abgrenzung

Ob Logizität am besten durch eine modelltheoretische Invarianzbedingung oder durch Einschränkungen der Inferenzregeln wie Harmonie und Konservativität festgelegt wird und ob die beiden Ansätze darin übereinstimmen, welche Ausdrücke logisch sind.

Key figures

• Alfred Tarski
• Gila Sher
• Nuel Belnap
• Arthur Prior
• Gerhard Gentzen

Seminal works

• tarski1986what
• belnap1962

Frequently asked questions

Was ist das „Tonk“-Problem?

Arthur Prior schlug ein Konnektiv „Tonk“ vor, dessen Einführungsregel es erlaubt, „A Tonk B“ aus A abzuleiten, und dessen Eliminierungsregel es erlaubt, B aus „A Tonk B“ abzuleiten, sodass alles aus allem folgen würde. Belnap argumentierte, dass dies zeigt, dass Inferenzregeln nur dann ein echtes Konnektiv definieren können, wenn sie weitere Einschränkungen wie Konservativität erfüllen, wodurch pathologische „Definitionen“ blockiert werden.