الانحدار الخطي البسيط

يُنمذج الانحدار الخطي البسيط القيمة المتوقعة لنتيجة مستمرة كدالة خطية مستقيمة لمتغير تفسيري واحد. ويقدر نقطة التقاطع والميل باستخدام طريقة المربعات الصغرى، حيث يعبر الميل عن مقدار تغير النتيجة، في المتوسط، لكل زيادة وحدة واحدة في المتغير التنبؤي. وهو نموذج الانحدار الأساسي الذي تُبنى عليه النماذج الأكثر تعقيدًا.

Definition

يقوم الانحدار الخطي البسيط بمطابقة النموذج E(Y) = a + bX، مقدرًا نقطة التقاطع a والميل b عن طريق تقليل مجموع مربعات البواقي (المربعات الصغرى العادية)، بحيث يحدد الميل متوسط التغير في النتيجة المستمرة Y لكل زيادة وحدة واحدة في المتغير التنبؤي الوحيد X.

Scope

يغطي هذا المدخل النموذج الخطي المستقيم بمتغير تنبؤي واحد: معنى نقطة التقاطع والميل، تقدير المربعات الصغرى، افتراضات الخطية، الاستقلالية، التباين الثابت، والبواقي الطبيعية تقريبًا، وتفسير المطابقة من خلال فترات الثقة، التنبؤ، ومعامل التحديد. إنه موضوع منهجي، وليس إرشادات سريرية.

Core questions

• كيف يتم مطابقة خط مستقيم للبيانات، وماذا تقلل 'المربعات الصغرى'؟
• ماذا تعني نقطة التقاطع والميل من الناحية الموضوعية؟
• ما هي الافتراضات التي يجب أن تتحقق لتكون التقديرات وفترات ثقتها صالحة؟
• كيف يرتبط الانحدار الخطي البسيط بمعامل الارتباط؟
• كيف يُستخدم الخط المطابق للتقدير مقابل التنبؤ؟

Key concepts

• نقطة التقاطع والميل
• المربعات الصغرى العادية
• البواقي
• الافتراضات: الخطية، الاستقلالية، التباين الثابت، الأخطاء الطبيعية
• فاصل الثقة للميل
• معامل التحديد (R-squared)
• فترات الثقة مقابل فترات التنبؤ
• الانحدار نحو المتوسط

Mechanisms

يفترض النموذج أن متوسط النتيجة يقع على خط مستقيم في المتغير التنبؤي، مع تشتت الملاحظات الفردية حول هذا الخط. تختار المربعات الصغرى العادية نقطة التقاطع والميل التي تقلل مجموع المسافات الرأسية المربعة (البواقي) بين القيم المرصودة والمطابقة. يحتوي تقدير الميل على خطأ معياري ينبثق منه فاصل ثقة واختبار فرضية، ويكون صالحًا عندما تكون البواقي مستقلة، ولها تباين ثابت تقريبًا، وتكون موزعة طبيعيًا تقريبًا. يبلغ معامل التحديد، R-squared، عن نسبة تباين النتيجة التي يفسرها المتغير التنبؤي ويساوي مربع معامل ارتباط بيرسون في حالة المتغير التنبؤي البسيط. يصف فاصل الثقة عدم اليقين في متوسط النتيجة عند قيمة معينة للمتغير التنبؤي، بينما يصف فاصل التنبؤ، وهو أوسع، عدم اليقين في ملاحظة فردية مستقبلية.

Clinical relevance

يظهر الانحدار الخطي البسيط في جميع أنحاء الأدبيات الصحية لوصف كيفية ارتباط قياس مستمر بآخر، ولبناء علاقات مرجعية وخطوط معايرة. يعد إدراك افتراضاته جزءًا من تقييم مثل هذه التحليلات. يصف هذا المدخل الطريقة وليس أساسًا لقرارات التشخيص أو العلاج الفردية.

Evidence & guidelines

تصف نصوص الإحصاءات الطبية القياسية وسلسلة ملاحظات الإحصاء في المجلة الطبية البريطانية (BMJ Statistics Notes) كيفية الإبلاغ عن خطوط الانحدار، والميول، وفترات ثقتها وتفسيرها، وتؤكد على فحص البواقي قبل الاعتماد على خط مطابق.

History

يعود نموذج الخط المستقيم إلى ملاحظة فرانسيس غالتون في القرن التاسع عشر لـ 'الانحدار نحو المتوسط' في السمات الوراثية، وهي الظاهرة التي أعطت الانحدار اسمه، وإلى طريقة المربعات الصغرى التي طُورت سابقًا في علم الفلك والجيوديسيا. قام بيرسون وخلفاؤه بإضفاء الطابع الرسمي على الاستدلال للميل، وأصبح النموذج نقطة الدخول لجهاز الانحدار الأوسع في الإحصاء الحيوي الحديث.

Key figures

• Francis Galton
• Karl Pearson
• Douglas Altman
• Martin Bland

Seminal works

• altman-1991
• kutner-2005

Frequently asked questions

ماذا يعني الميل في الانحدار الخطي البسيط؟

الميل هو متوسط التغير في النتيجة لكل زيادة وحدة واحدة في المتغير التنبؤي. تشير فترة ثقته وقيمته الاحتمالية إلى مدى دقة تقديره وما إذا كان الارتباط يمكن تمييزه عن عدم وجود علاقة.

ما الفرق بين فترة الثقة وفترة التنبؤ لخط الانحدار؟

تعبر فترة الثقة عن عدم اليقين بشأن متوسط النتيجة عند قيمة معينة للمتغير التنبؤي، بينما تعبر فترة التنبؤ، وهي أوسع، عن عدم اليقين بشأن ملاحظة جديدة فردية عند تلك القيمة لأنها تشمل أيضًا تشتت النقاط حول الخط.