含时与不含时薛定谔方程

含时薛定谔方程描述了波函数如何演化，而分离出时间依赖性后，它就简化为不含时方程，这是一个本征值问题，其解是具有确定能量的定态。

Definition

含时薛定谔方程指出哈密顿量产生波函数的时间演化，而不含时薛定谔方程是其产生的本征值方程，其解是具有确定能量的定态。

Scope

本主题涵盖含时薛定谔方程和概率守恒、含时哈密顿量的变量分离、作为能量本征值问题的不含时方程、定态及其平凡的相位演化、一般状态在能量本征态中的展开，以及使任何状态随时间演化的传播子。

Core questions

• 哈密顿量如何决定任何量子态的演化？
• 为什么将时间与空间分离会产生能量本征值问题？
• 定态在时间演化下有什么特殊之处？
• 如何计算任意叠加态的未来状态？

Key concepts

• 哈密顿算符
• 定态
• 能量本征值
• 变量分离
• 概率守恒
• 传播子

Key theories

变量分离

当哈密顿量没有显式的时间依赖性时，空间函数乘以时间相位的形式的解将完整方程简化为不含时本征值问题，每个能量本征态随时间推移只获得一个振荡相位。

谱展开和传播子

任何初始状态都可以写成能量本征态的叠加，每个本征态都按其自身的相位演化，因此完整的时间演化由一个由能谱构建的传播子捕获，该传播子将一个时间的状态映射到任何后续时间。

Clinical relevance

这对方程是几乎所有量子计算的起点：定态给出了原子和分子光谱中测得的谱线，而含时形式则控制着量子技术中的跃迁、波包动力学和量子比特的相干控制。

History

薛定谔在1926年的一系列论文中提出了他的方程的两种形式，并立即将不含时方程应用于氢原子；狄拉克和冯·诺依曼后来将时间演化重新表述为酉传播子的抽象算符语言。

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

如果定态仍在时间上演化，为什么还称之为定态？

定态只获得一个整体的振荡相位，该相位在任何测量概率或期望值中都会抵消，因此所有可观测属性随时间保持不变，尽管波函数本身在复平面中持续旋转。

不含时薛定谔方程何时可以使用？

当哈密顿量不显式依赖于时间时，它适用，允许变量分离；对于时变势，必须求解完整的含时方程或使用含时微扰理论。