不含时薛定谔方程的解

寻找量子粒子在势场中的能级和定态波函数是计算量子力学的首要任务，可以通过波函数射击法或离散化哈密顿量的对角化来解决。

Definition

不含时薛定谔方程是一个特征值方程，其解是量子系统的定态和能级；数值求解它意味着为给定势场找到这些特征值和特征函数。

Scope

本主题涵盖一维和少数维度下定态薛定谔方程的数值解法：包括射击与匹配结合特征值搜索、Numerov积分法，以及在网格或基组上离散化哈密顿量的矩阵方法。它涉及束缚态，并简要提及散射态。

Core questions

• 射击法如何通过强制边界条件来寻找能量特征值？
• 为什么Numerov方法非常适合积分薛定谔方程？
• 哈密顿量的离散化如何将问题转化为矩阵对角化？
• 离散束缚态如何与连续态区分开来？

Key theories

射击与匹配法

波函数从边界向内积分，针对一个试探能量进行计算，然后调整能量，直到向内和向外的解平滑匹配，从而选出允许的特征值。

Numerov积分法

Numerov方法利用薛定谔方程的特殊结构（没有一阶导数项），在积分波函数时以较低的成本实现高阶精度。

哈密顿量的矩阵对角化

在网格或有限基组上表示哈密顿量会得到一个矩阵，其特征值是能级，特征向量是离散化的波函数，这些可以通过标准特征求解器找到。

Clinical relevance

求解定态薛定谔方程可以得到原子和分子的能级、量子阱和纳米结构的谱线，以及用于电子结构计算的单粒子轨道。

History

薛定谔方程于1926年提出后不久，其数值积分方法便随之发展，其中最初为天体力学设计的Numerov方法成为主流；计算机的普及使得哈密顿量的完全对角化成为常规替代方案。

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

何时应使用射击法而非矩阵对角化？

射击法对于一维或径向问题，当一次只寻找一个特征值时，是自然且准确的。当需要同时获得多个能级或在射击法变得不便的高维问题中，矩阵对角化更为方便。

为什么Numerov方法更适用于此方程？

薛定谔方程没有一阶导数项，而Numerov方案正是专门设计来利用这一特点的，与基本积分器相比，它只需很少的额外工作就能提供四阶精度。