σ-代数和测度

σ-代数确定了哪些集合可以被测度，而测度则为每个集合赋予一个一致的大小；它们共同构成了所有积分理论赖以建立的可测空间。

Definition

σ-代数是子集的一个集合，它在补集和可数并运算下是封闭的；测度是σ-代数上的一个可数可加的非负集合函数；这对概念共同构成了测度空间，它是长度、面积、体积和概率的推广。

Scope

本主题涵盖σ-代数和由开集生成的Borel σ-代数、可测函数、具有可数可加性的测度公理、外测度与Caratheodory构造、Lebesgue测度的构建、完备性和零测集，以及测度在单调序列上的连续性。

Core questions

• 哪些集合的集合可以支持一致的大小概念？
• 欧几里得空间上的Lebesgue测度是如何从外测度构建的？
• 可数可加性比有限可加性多贡献了什么？
• 为什么测度不能定义在绝对的每个子集上？

Key theories

Caratheodory扩张定理

外测度在其可测集的σ-代数上限制为一个真正的可数可加测度，这种构造产生了Lebesgue测度以及从更简单的集合函数抽象空间上的测度。

不可测集的存在性

假设选择公理成立，实数线上存在一些子集，任何平移不变的可数可加测度都无法为其赋予大小，这就是为什么需要σ-代数而不是所有子集的原因。

Clinical relevance

测度空间是概率论的正式基础，其中σ-代数编码可观测事件，测度是概率分布；同样的框架支持积分、统计学和金融学中随机性的严格处理，以及分析中函数空间的定义。

History

Borel在大约1898年引入了由区间构建的集合的σ-代数，Lebesgue在1902年在线上定义了测度。Caratheodory的外测度方法将构造推广到抽象空间，Vitali在1905年的例子展示了一个不可测集。

Key figures

• Constantin Caratheodory
• Emile Borel
• Henri Lebesgue

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

为什么不直接测量线上的每个子集？

利用选择公理，可以构造出一些集合，例如Vitali集，它们无法被赋予与平移不变性和可数可加性一致的大小，因此测度被限制在σ-代数上。

可数可加性的作用是什么？

可数可加性，即可数不交并的测度等于各测度的和，正是它使得测度能够与极限良好地相互作用，并使积分的收敛定理成为可能。