Radon-Nikodym 定理与乘积测度

这些结果比较和结合了测度：Radon-Nikodym 定理将一个测度表示为密度乘以另一个测度，而乘积测度与 Fubini 定理则使多变量积分成为一个迭代过程。

Definition

Radon-Nikodym 定理指出，一个对 σ-有限测度绝对连续的测度等于其密度对该测度的积分；乘积测度将因子空间上的测度扩展到它们的乘积空间，从而可以一次处理一个变量进行多变量积分。

Scope

本主题涵盖带符号测度和复测度，包括 Hahn 分解和 Jordan 分解、绝对连续性和相互奇异性、Lebesgue 分解、Radon-Nikodym 定理及其导数、乘积测度的构造，以及用于交换迭代积分顺序的 Fubini 定理和 Tonelli 定理。

Core questions

• 一个测度如何相对于另一个测度分解为绝对连续部分和奇异部分？
• 一个测度何时相对于另一个测度具有密度，该密度又是什么？
• 乘积空间上的测度如何从因子空间上的测度构建？
• 迭代积分的顺序何时可以交换？

Key theories

Radon-Nikodym 定理

如果一个测度对一个 σ-有限测度绝对连续，那么它是一个唯一的密度函数（即 Radon-Nikodym 导数）的积分，这是概率密度和条件期望的严格基础。

Fubini-Tonelli 定理

在 σ-有限条件下，乘积空间上的积分等于任一迭代积分，其中 Tonelli 形式适用于非负函数，Fubini 形式适用于可积函数，从而证明了积分顺序交换的合理性。

Clinical relevance

Radon-Nikodym 导数是统计学中的概率密度函数和似然比，也是概率论中条件期望的严格基础，而乘积测度与 Fubini 定理则支撑着物理学和应用数学中联合分布、独立性和多维积分的处理。

History

Radon 于 1913 年证明了欧几里得空间上的密度定理，Nikodym 于 1930 年将其推广到抽象测度。Fubini 关于迭代积分的定理可追溯到 1907 年，并于 1909 年由 Tonelli 的非负版本补充，完善了乘积积分理论。

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

什么是 Radon-Nikodym 导数？

它是一个密度函数，当一个测度对另一个测度绝对连续时，它将第一个测度表示为对第二个测度的积分；在概率论中，它正是概率密度函数。

何时可以交换重积分的顺序？

Tonelli 定理允许在 σ-有限空间上的非负可测函数交换顺序，Fubini 定理允许在函数在乘积空间上可积时交换顺序；它们共同涵盖了实践中遇到的情况。