黎曼积分与勒贝格积分

积分严格地量化了曲线下方的面积；黎曼积分通过划分定义域来实现，而勒贝格积分则通过划分值域并能积分更广泛的函数类别。

Definition

黎曼积分是定义域更精细划分下的上和与下和的共同极限。勒贝格积分通过用测度测量的简单函数来逼近函数而定义，它将积分扩展到更广泛的函数类别，并在极限下表现良好。

Scope

本主题涵盖了通过上和下和构建黎曼积分、黎曼可积性判据、微积分基本定理、黎曼积分在极限下的局限性，以及基于测度构建的勒贝格积分及其单调收敛定理、法图引理和控制收敛定理。

Core questions

• 究竟哪些函数是黎曼可积的，它们有什么特征？
• 微积分基本定理如何将积分与微分联系起来？
• 为什么黎曼积分不能与许多极限交换次序？
• 勒贝格积分如何克服这些局限性？

Key theories

勒贝格黎曼可积性判据

一个在闭区间上有界的函数是黎曼可积的，当且仅当其不连续点集测度为零，这精确地划定了黎曼理论的适用范围。

微积分基本定理

微分和积分是逆运算：导数的积分恢复原函数，积分的导数恢复被积函数，将分析学的两个核心运算联系起来。

单调收敛与控制收敛

对于勒贝格积分，单调递增函数序列和受控函数序列允许极限与积分交换次序，这是黎曼积分所缺乏的收敛能力。

Clinical relevance

积分理论是科学领域中面积、概率、期望和累积量计算的基础。勒贝格积分稳健的极限行为对于概率论、傅里叶分析、函数空间的完备性以及微分方程解的严格处理至关重要。

History

黎曼于1854年首次给出了积分的严格定义。由于它无法处理许多极限和不连续函数，这促使勒贝格于1902年提出了基于测度的积分，该积分成为现代分析和概率论的标准工具。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Henri Lebesgue
• Emile Borel

Seminal works

• rudin1976
• stein2005real

Frequently asked questions

为什么勒贝格积分在高等分析中更受青睐？

它能积分更多的函数，并且关键在于，在温和条件下允许极限与积分交换次序，这使得函数空间完备，并且在概率论和傅里叶分析中不可或缺。

这两种积分会产生不同的结果吗？

对于在有界区间上黎曼可积的函数，这两种积分给出相同的值；勒贝格积分只是适用于更广泛的函数类别，而黎曼积分对这些函数是未定义的。