勒贝格积分

勒贝格积分通过用测度加权的简单函数来逼近可测函数，从而定义了可测函数的积分，得到的积分与极限具有稳健的相互作用。

Definition

勒贝格积分将非负可测函数的积分定义为在其下方简单函数积分的最小上界，并通过对正负部分积分将其扩展到有符号函数和复函数，从而产生一个相对于任何测度定义的积分。

Scope

本主题涵盖简单函数和非负可测函数的积分、一般函数和复值函数的积分、单调收敛定理、法图引理、控制收敛定理、几乎处处成立的陈述，以及与黎曼积分的比较。

Core questions

• 积分是如何从简单函数和测度构建起来的？
• 在什么条件下，极限可以移入积分号内？
• “几乎处处”成立的性质意味着什么？为什么它是正确的概念？
• 勒贝格积分与黎曼积分有何关系？它是如何扩展黎曼积分的？

Key theories

单调收敛定理和法图引理

对于非负可测函数，递增极限的积分是积分的极限；一般而言，下极限的积分不超过积分的下极限，这是将极限通过积分的基本工具。

控制收敛定理

如果函数几乎处处收敛，并且其大小受一个固定的可积函数控制，那么它们积分的极限等于极限的积分，这是积分中最常用的交换定理。

Clinical relevance

勒贝格积分是概率论中的期望，也是傅里叶分析和泛函分析的基础积分；其收敛定理证明了在物理学、统计学和应用数学的推导中交换极限、求和与积分的合理性，并使Lp函数空间完备。

History

勒贝格于1902年定义了他的积分，收敛定理也很快确立，法图引理出现在他1906年关于级数的工作中，而列维的单调收敛定理则在1906年提出。这些结果使分析学拥有了现代的、对极限友好的积分。

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

“几乎处处”是什么意思？

如果一个陈述不成立的集合测度为零，则称该陈述几乎处处成立；勒贝格积分无法检测这些集合上的变化，因此几乎处处相等的函数具有相同的积分。

为什么收敛定理是主要的收获？

单调收敛定理和控制收敛定理允许在温和的假设下将极限移入积分号内，这正是黎曼积分所缺乏的灵活性，也是概率论和分析学所依赖的。