条件期望

条件期望是给定子σ-代数信息下随机变量的最佳预测，通过Radon-Nikodym定理抽象定义，其行为类似于尊重可用信息的平均投影。

Definition

可积随机变量在给定子σ-代数下的条件期望是唯一的（在几乎必然相等意义上），可积函数，它相对于该子σ-代数是可测的，并且在该子σ-代数中的每个集合上与原始变量具有相同的积分。

Scope

本主题涵盖给定子σ-代数的条件期望的定义、其存在性以及通过Radon-Nikodym定理实现的几乎必然唯一性、塔性质、已知信息提取性质和条件Jensen性质、作为平方可积变量空间中正交投影的解释、条件概率和正则条件分布，以及条件作用作为鞅和贝叶斯更新引擎的作用。

Core questions

• 期望如何能在可能包含概率为零的事件的信息上进行条件化？
• 为什么条件期望只在几乎必然零集上是唯一的？
• 从何种意义上说，条件期望是随机变量的最佳预测器？
• 塔性质和提取性质如何使条件期望变得易于处理？

Key concepts

• 条件σ-代数
• Radon-Nikodym导数
• 塔性质
• 最小二乘投影
• 正则条件分布

Key theories

通过Radon-Nikodym的存在性

条件期望之所以存在，是因为通过对子σ-代数集合上的随机变量进行积分而获得的测度，相对于受限概率测度是绝对连续的，并且其Radon-Nikodym导数就是条件期望。

塔性质

在对一个更精细的σ-代数进行条件化之后，再对一个更粗糙的σ-代数进行条件化，会返回更粗糙的条件期望，因此迭代条件化会收敛到最粗糙的水平；这种平滑恒等式是鞅理论和滤波的基础。

投影表征

对于平方可积变量，条件期望是到相对于条件σ-代数可测变量子空间的正交投影，这使其成为给定可用信息下的最小二乘最优预测器。

Clinical relevance

条件期望是不确定性下预测和更新的形式基础：它定义了鞅，是卡尔曼滤波和非线性滤波的基础，表达了贝叶斯后验均值，并给出了或有债权的无套利价格，即风险中性测度下的条件期望。

History

柯尔莫哥洛夫于1933年引入了关于σ-代数的条件期望的普遍定义，通过将其锚定在Radon-Nikodym定理中，解决了在零事件上进行条件化的悖论；杜布随后使其成为鞅理论的基础。

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Joseph L. Doob
• Johann Radon
• Otton Nikodym

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

为什么条件期望是一个随机变量而不是一个数值？

因为它必须编码条件信息的每种可能状态的预测值；随着该信息在样本空间中变化，预测值也会变化，使得条件期望成为一个相对于条件σ-代数可测的函数。

在σ-代数上进行条件化如何推广到在事件上进行条件化？

在正概率事件上进行条件化是子σ-代数由该事件及其补集生成的特殊情况；一般定义将其扩展到无法通过任何单个正概率事件捕获的信息。