Quá trình Poisson và Quá trình điểm
Quá trình điểm là sự phân tán ngẫu nhiên của các điểm trong không gian hoặc thời gian; quá trình Poisson, trong đó các vùng rời rạc chứa các số đếm phân bố Poisson độc lập, là ví dụ cơ bản của nó.
Definition
Quá trình điểm là một phép đo ngẫu nhiên đặt một tập hợp rời rạc các điểm trong một không gian, và quá trình Poisson là quá trình điểm trong đó số lượng điểm trong bất kỳ vùng nào được phân bố Poisson với giá trị trung bình được cho bởi một phép đo cường độ và số đếm trong các vùng rời rạc là độc lập.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm quá trình Poisson thuần nhất và các đặc trưng của nó thông qua thời gian giữa các lần xuất hiện theo hàm mũ độc lập và các gia số độc lập, các quá trình Poisson không thuần nhất và phức hợp, lý thuyết chung về các quá trình điểm như các phép đo đếm ngẫu nhiên, cường độ và dấu hiệu, các phép toán như chồng chất, làm mỏng và ánh xạ, và các mẫu điểm không gian.
Sub-topics
Core questions
- Điều gì định nghĩa một quá trình Poisson và những đặc trưng tương đương nào mô tả nó?
- Làm thế nào các gia số độc lập và thời gian giữa các lần xuất hiện theo hàm mũ độc lập phát sinh?
- Các quá trình điểm được hình thức hóa như các phép đo đếm ngẫu nhiên như thế nào?
- Làm thế nào việc làm mỏng, chồng chất và ánh xạ biến đổi các quá trình Poisson?
Key theories
- Các đặc trưng của quá trình Poisson
- Quá trình Poisson thuần nhất được mô tả tương đương bằng các số đếm Poisson với các gia số độc lập, bằng các thời gian giữa các lần xuất hiện theo hàm mũ độc lập và phân bố giống hệt nhau, và là quá trình điểm đơn giản duy nhất với các gia số độc lập dừng và không có các nguyên tử cố định.
- Các định lý về ánh xạ, làm mỏng và chồng chất
- Việc dịch chuyển độc lập, xóa ngẫu nhiên hoặc hợp nhất các điểm của các quá trình Poisson lại tạo ra các quá trình Poisson với các phép đo cường độ đã biến đổi, một sự mạnh mẽ khiến quá trình Poisson trở thành mô hình chuẩn cho các điểm hoàn toàn ngẫu nhiên.
Clinical relevance
Các quá trình điểm mô hình hóa sự xuất hiện của khách hàng, cuộc gọi điện thoại, phân rã phóng xạ, yêu cầu bảo hiểm, xung thần kinh và vị trí không gian của cây cối, thiên hà hoặc các trường hợp bệnh; quá trình Poisson đóng vai trò là đường cơ sở của sự ngẫu nhiên hoàn toàn trong không gian để đánh giá sự tập trung hoặc tính đều đặn.
History
Phân bố Poisson xuất hiện trong công trình năm 1837 của Poisson về các phán đoán, quá trình này được Erlang sử dụng từ năm 1909 để mô hình hóa lưu lượng điện thoại và bởi Bateman và Rutherford cho sự phân rã phóng xạ, và lý thuyết đo lường hiện đại về các quá trình điểm đã được củng cố vào cuối thế kỷ XX bởi Kingman, Daley và Vere-Jones.
Key figures
- Simeon Denis Poisson
- Agner Krarup Erlang
- John Kingman
Related topics
Seminal works
- kingman1993
Frequently asked questions
- Quá trình Poisson là gì?
- Đây là một mô hình cho các điểm được phân tán hoàn toàn ngẫu nhiên trong thời gian hoặc không gian, trong đó số lượng điểm trong bất kỳ vùng nào tuân theo phân bố Poisson và số đếm trong các vùng không chồng lấn là độc lập.
- Tại sao quá trình Poisson được sử dụng rộng rãi như vậy?
- Nó là mô hình tự nhiên của sự ngẫu nhiên hoàn toàn, được bảo toàn dưới các phép làm mỏng, chồng chất và ánh xạ, và phát sinh như một giới hạn bất cứ khi nào nhiều sự kiện độc lập hiếm gặp tích lũy, làm cho nó trở thành một đường cơ sở linh hoạt và dễ xử lý.