Quá trình Poisson thuần nhất

Quá trình Poisson thuần nhất đếm các sự kiện xảy ra với tốc độ trung bình không đổi, với số lượng sự kiện trong bất kỳ khoảng thời gian nào được phân phối theo Poisson và số lượng trong các khoảng thời gian rời rạc là độc lập.

Definition

Một quá trình Poisson thuần nhất với tốc độ lambda là một quá trình đếm bắt đầu từ 0 với các gia số dừng độc lập, trong đó số lượng sự kiện trong một khoảng thời gian có độ dài t được phân phối theo Poisson với giá trị trung bình là lambda nhân t, tương đương với một quá trình có thời gian giữa các lần đến là các biến ngẫu nhiên mũ độc lập với tốc độ lambda.

Scope

Chủ đề này bao gồm tham số tốc độ, phân phối Poisson của số lượng, các gia số độc lập và dừng, phân phối mũ của thời gian giữa các lần đến và phân phối gamma của thời gian đến, thuộc tính thống kê thứ tự của thời gian sự kiện được điều kiện theo số lượng, và thuộc tính không nhớ làm nền tảng cho các kết quả này.

Core questions

• Quá trình Poisson thuần nhất được định nghĩa và tham số hóa bằng tốc độ của nó như thế nào?
• Tại sao thời gian giữa các lần đến lại là phân phối mũ và độc lập?
• Thời gian đến được phân phối như thế nào khi biết số lượng sự kiện?
• Vai trò của thuộc tính không nhớ là gì?

Key theories

Sự tương đương của mô tả đếm và mô tả thời gian giữa các lần đến

Một quá trình đếm có các gia số Poisson với các gia số dừng độc lập nếu và chỉ nếu các thời gian giữa các lần đến liên tiếp của nó là các biến ngẫu nhiên mũ độc lập với cùng tốc độ, do đó quá trình có thể được xây dựng bằng cách đếm hoặc bằng cách tổng hợp thời gian chờ.

Thuộc tính thống kê thứ tự

Được điều kiện theo số lượng sự kiện trong một khoảng thời gian, thời gian sự kiện được phân phối như các thống kê thứ tự của các điểm đồng nhất độc lập trong khoảng thời gian đó, điều này làm cho nhiều phép tính và mô phỏng có điều kiện trở nên đơn giản.

Clinical relevance

Quá trình Poisson thuần nhất là mô hình tiêu chuẩn cho các sự kiện đến trong hàng đợi, số lượng phân rã phóng xạ, phát hiện photon và các sự kiện hiếm gặp, và nó đóng vai trò là cơ chế đến trong các hàng đợi M/M/1 và M/G/1 cơ bản và là mô hình null của tính ngẫu nhiên trong dữ liệu thời gian sự kiện.

History

Phân tích các sự kiện hiếm gặp năm 1898 của Bortkiewicz và nghiên cứu lưu lượng điện thoại năm 1909 của Erlang đã thiết lập quá trình Poisson một cách thực nghiệm, trong khi các phép đếm hạt alpha năm 1910 của Rutherford và Geiger đã đưa ra một xác nhận vật lý kinh điển; lý thuyết chặt chẽ sau đó được phát triển từ nghiên cứu tổng quát về các quá trình có gia số độc lập.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Tại sao thời gian giữa các lần đến của Poisson lại là phân phối mũ?

Tính độc lập và tính dừng của các gia số buộc thời gian chờ đến sự kiện tiếp theo phải không nhớ, và phân phối không nhớ liên tục duy nhất là phân phối mũ, với tốc độ bằng tốc độ của quá trình.

Tham số tốc độ có ý nghĩa gì?

Tốc độ lambda là số lượng sự kiện trung bình trên một đơn vị thời gian; số lượng dự kiến trong một khoảng thời gian là lambda nhân với độ dài của nó, và thời gian trung bình giữa các lần đến là một chia cho lambda.