Các quá trình nhảy và chuỗi nhúng

Một chuỗi Markov thời gian liên tục có thể được phân tách thành một chuỗi nhảy thời gian rời rạc ghi lại trình tự các trạng thái đã ghé thăm và thời gian giữ theo hàm mũ ghi lại thời gian mỗi trạng thái được chiếm giữ.

Definition

Chuỗi nhúng của một chuỗi Markov thời gian liên tục là chuỗi Markov thời gian rời rạc của các trạng thái được ghé thăm liên tiếp, cùng với thời gian giữ theo hàm mũ độc lập mà tốc độ của chúng phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, xác định hoàn toàn quá trình thời gian liên tục.

Scope

Chủ đề này bao gồm chuỗi nhảy nhúng và xác suất chuyển đổi của nó, thời gian giữ theo hàm mũ với tốc độ phụ thuộc vào trạng thái, sự tương đương giữa mô tả bộ tạo và cấu trúc nhảy-giữ, sự bùng nổ và khả năng có vô số bước nhảy trong thời gian hữu hạn, và việc sử dụng phương pháp đồng nhất hóa để liên hệ các chuỗi thời gian liên tục với các chuỗi thời gian rời rạc.

Core questions

• Làm thế nào để trích xuất chuỗi nhảy nhúng từ một chuỗi thời gian liên tục?
• Tại sao thời gian giữ lại được phân phối theo hàm mũ, và tốc độ của chúng phụ thuộc vào trạng thái như thế nào?
• Khi nào chuỗi thời gian liên tục có thể bùng nổ bằng cách thực hiện vô số bước nhảy trong thời gian hữu hạn?
• Phương pháp đồng nhất hóa chuyển đổi một chuỗi thời gian liên tục thành một chuỗi thời gian rời rạc như thế nào?

Key theories

Cấu trúc nhảy-giữ

Bắt đầu từ một trạng thái, chuỗi chờ một khoảng thời gian theo hàm mũ với tốc độ là tổng tốc độ thoát và sau đó nhảy đến một trạng thái mới được chọn bởi xác suất chuyển đổi của chuỗi nhúng, tái tạo toàn bộ quá trình thời gian liên tục từ hai thành phần này.

Bùng nổ và không bảo toàn

Nếu tốc độ thoát tăng đủ nhanh dọc theo một quỹ đạo, tổng thời gian giữ có thể hội tụ và chuỗi thực hiện vô số bước nhảy trong thời gian hữu hạn, một sự bùng nổ phải được loại trừ để nửa nhóm chuyển đổi là trung thực.

Clinical relevance

Cấu trúc nhảy-giữ là cơ sở của mô phỏng ngẫu nhiên chính xác các chuỗi Markov, bao gồm thuật toán Gillespie cho các mạng lưới phản ứng hóa học, và phương pháp đồng nhất hóa cung cấp một phương pháp số ổn định để tính toán các phân bố tạm thời trong các mô hình độ tin cậy và hiệu suất.

History

Feller và Doob đã thiết lập biểu diễn nhảy-giữ và hiện tượng bùng nổ vào những năm 1940, làm rõ khi nào một chuỗi thời gian liên tục được xác định duy nhất bởi tốc độ của nó; cấu trúc này sau đó đã làm nền tảng cho các phương pháp mô phỏng chính xác như thuật toán năm 1976 của Gillespie cho động học hóa học.

Key figures

• William Feller
• Joseph Doob
• Daniel Gillespie

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

Chuỗi nhúng của một chuỗi Markov thời gian liên tục là gì?

Đó là chuỗi Markov thời gian rời rạc chỉ ghi lại trình tự các trạng thái riêng biệt mà quá trình ghé thăm, bỏ qua thời gian nó ở mỗi trạng thái, và nó nắm bắt được quá trình đi đến đâu.

Bùng nổ là gì?

Bùng nổ xảy ra khi một chuỗi thời gian liên tục thực hiện vô số bước nhảy trong một khoảng thời gian hữu hạn vì thời gian giữ của nó giảm quá nhanh; các chuỗi hoạt động tốt được xây dựng để tránh điều này.