Olasılık Uzayları ve Olaylar
Bir olasılık uzayı, çıktıların örneklem uzayı, olayların sigma-cebiri ve her olaya sıfır ile bir arasında bir sayı atayan bir olasılık ölçüsünden oluşan üçlüdür ve tüm olasılık kuramının üzerine kurulduğu zemini oluşturmaktadır.
Tanım
Bir olasılık uzayı, bir örneklem uzayı, olaylar olarak adlandırılan ölçülebilir alt kümelerin bir sigma-cebiri ve her olaya kendi olasılığını atayan, toplam kütlesi bir olan sayılabilir derecede toplanabilir bir olasılık ölçüsünden oluşan bir üçlüdür.
Kapsam
Bu konu, örneklem uzayını ve olayların sigma-cebirini, bir olasılık ölçüsünün sağlaması gereken aksiyomları, artan ve azalan olay dizileri boyunca olasılığın sürekliliğini, Caratheodory uzantısı (Caratheodory extension) aracılığıyla küme fonksiyonlarından ölçülerin inşasını ve birim aralık üzerindeki Lebesgue ölçüsü gibi standart yapıların kanonik bir olasılık uzayı olarak ele alınmasını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir çıktı ile bir olay arasındaki fark nedir ve olaylar neden bir sigma-cebiri oluşturmak zorundadır?
- Bir olasılık ölçüsünü hangi özellikler tanımlar ve bu özellikler aşağıdan ve yukarıdan sürekliliği nasıl sağlamaktadır?
- Basit kümeler üzerindeki olasılıkların bir tanımından bir olasılık ölçüsü nasıl inşa edilmektedir?
- Birim aralık üzerindeki tekdüze rastgele sayı gibi bilinen modellere hangi kanonik olasılık uzayı temel oluşturmaktadır?
Anahtar kavramlar
- örneklem uzayı ve çıktılar
- olayların sigma-cebiri
- sayılabilir toplanabilirlik
- olasılığın sürekliliği
- sıfır olasılıklı olaylar ve hemen hemen kesin özellikler
Temel kuramlar
- Bir olasılık ölçüsünün aksiyomları
- Bir olasılık ölçüsü negatif olmayan, tüm örneklem uzayına bir olasılık değeri atayan ve ayrık olaylar üzerinde sayılabilir derecede toplanabilir olan bir fonksiyondur; bu aksiyomlar, monotonluğu, kapsama-dışlama formülünü ve olayların monoton dizileri boyunca sürekliliği ima etmektedir.
- Caratheodory uzantı teoremi
- Bir cebir üzerinde tanımlanmış sayılabilir derecede toplanabilir bir küme fonksiyonu, üretilen sigma-cebiri üzerinde tek bir ölçüye genişletilmektedir; bu da bir olasılık ölçüsünün basit olaylar üzerinde belirlenmesine ve ardından tüm ölçülebilir olaylara genişletilmesine olanak tanımaktadır.
Klinik önem
Olasılık uzayı formalizmi, rastgele fenomenler hakkındaki ifadeleri netleştirmektedir; kuyruk sistemlerinden istatistiksel çıkarıma ve risk modellemesine kadar her uygulamalı olasılıksal model, örtük olarak bir olasılık uzayı ve üzerinde tanımlanan olaylar hakkında bir iddiayı içermektedir.
Tarihçe
Gayri resmi olasılıklar yüzyıllardır hesaplanmış olsa da, olasılık uzayının kesin tanımı, Kolmogorov'un 1933'teki aksiyomatizasyonuna dayanmaktadır; bu aksiyomatizasyon, olaylara ve olasılıklarına sağlam bir temel sağlamak amacıyla ölçü kuramından Caratheodory'nin uzantı mekanizmasını ödünç almıştır.
Öne çıkan isimler
- Andrey Kolmogorov
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
İlgili konular
Temel eserler
- kolmogorov1933
Sıkça sorulan sorular
- Neden örneklem uzayının her alt kümesine olasılık atanmamaktadır?
- Sayılamaz örneklem uzayları için tüm alt kümeler üzerinde tutarlı, sayılabilir derecede toplanabilir bir olasılık tanımlanamamaktadır; bu nedenle olasılıklar, pratik ilgiye sahip her olayı hala içeren ölçülebilir olayların bir sigma-cebirine kısıtlanmaktadır.
- Hemen hemen kesinlikle ne anlama gelmektedir?
- Bir olay, tümleyeni sıfır olasılığa sahipse hemen hemen kesinlikle gerçekleşmektedir; bu tür sıfır olasılıklı olaylar, kelimenin tam anlamıyla imkansız olmasalar bile, olasılıkları ve beklentileri hesaplama amacıyla göz ardı edilebilmektedir.