Bağımsızlık ve Borel-Cantelli Lemmaları
Bağımsızlık, bazı olayları bilmenin diğerleri hakkında hiçbir bilgi vermediği fikrini resmileştirir ve Borel-Cantelli lemmaları, olasılıkların toplanabilirliğini, bir olay dizisinin ne sıklıkta meydana geldiği hakkında keskin, neredeyse kesin ifadelere dönüştürür.
Tanım
Olaylar, ortak gerçekleşme olasılıkları kendi olasılıklarının çarpımına ayrıştırıldığında bağımsızdır ve Borel-Cantelli lemmaları, olay olasılıkları toplamının yakınsamasını veya ıraksamasını, olayların sonsuz sayıda neredeyse kesin olarak gerçekleşip gerçekleşmediğiyle ilişkilendirir.
Kapsam
Konu, olayların, sigma-cebirlerin ve rastgele değişkenlerin bağımsızlığını, bunu destekleyen gruplama ve yaklaşıklık lemmalarını, birinci ve ikinci Borel-Cantelli lemmalarını, kuyruk olayları için Kolmogorov'un sıfır-bir yasasını ve neredeyse kesin yakınsama ile nadir olayların tekrarına yönelik uygulamalarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Olaylar, sigma-cebirler ve rastgele değişkenler için bağımsızlık ne anlama gelmektedir ve bu kavramlar nasıl ilişkilidir?
- Bir olay dizisi ne zaman sadece sonlu sayıda gerçekleşir ve ne zaman sonsuz sayıda tekrarlar?
- Karşıt Borel-Cantelli lemmasının neden bağımsızlığı varsayması gerekmektedir?
- Bağımsız bir dizinin kuyruk olayının olasılığı neden ya sıfır ya da birdir?
Anahtar kavramlar
- olayların bağımsızlığı
- sigma-cebirlerin bağımsızlığı
- kuyruk sigma-cebiri
- sonsuz sayıda gerçekleşen olay
- neredeyse kesin tekrar
Temel kuramlar
- Birinci Borel-Cantelli lemmas
- Eğer bir olay dizisinin olasılıklarının toplamı sonlu ise, o zaman olasılıkla bir, olaylardan sadece sonlu sayıda gerçekleşir; bağımsızlık gerekmez ve bu sonuç birçok neredeyse kesin yakınsama argümanının temelini oluşturur.
- İkinci Borel-Cantelli lemmas
- Eğer olaylar bağımsız ise ve olasılıklarının toplamı ıraksıyorsa, o zaman olasılıkla bir, olaylardan sonsuz sayıda gerçekleşir; bu, bağımsızlık altında birinci lemmanın keskin bir karşıtını sunar.
- Kolmogorov sıfır-bir yasası
- Bağımsız rastgele değişkenler dizisinin kuyruk sigma-cebirindeki herhangi bir olayın olasılığı ya sıfır ya da birdir, bu nedenle bağımsız terimler serisinin yakınsaması gibi asimptotik özellikler, doğruluk değerleri açısından deterministiktir.
Klinik önem
Bu sonuçlar, büyük sayılar güçlü yasalarının ve kayıtların, serilerin ve nadir olayların analizinin arkasındaki temel araçlardır; güvenilirlik ve risk analizinde, tekrarlayan bir tehlikenin sonsuz sayıda meydana gelip gelmediğini belirlerler ve sayı teorisi ile ergodik teoride sıfır-bir yasası, birçok sınırlayıcı özelliğin neden her zaman ya da hiçbir zaman geçerli olduğunu açıklamaktadır.
Tarihçe
Borel, yakınsama yarısını 1909'da normal sayılar üzerine yaptığı çalışmasında kanıtlamıştır ve Cantelli, bağımsızlık karşıtını 1917'de sağlamıştır. Kolmogorov daha sonra her ikisini de kuyruk olayları için sıfır-bir yasası içinde birleştirerek, onları ölçü-teorik kuramın merkezi araçları haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Emile Borel
- Francesco Paolo Cantelli
- Andrey Kolmogorov
İlgili konular
Temel eserler
- durrett2019
Sıkça sorulan sorular
- İkinci Borel-Cantelli lemmasının neden bağımsızlık gerektirmesine rağmen birincisi gerektirmez?
- Bağımsızlık olmaksızın, ıraksayan olasılıklar, yalnızca sonlu sayıda farklı olayın meydana geldiği kadar yoğun bir şekilde örtüşen olayları hala tanımlayabilir; bağımsızlık bu 'komployu' ortadan kaldırır ve sonsuz sayıda olayın gerçekleşmesini zorlar.
- Kuyruk olayı nedir?
- Kuyruk olayı, sonsuz bir serinin yakınsaması gibi, temel rastgele değişkenlerin sonlu bir sayısına bağlı olmayan bir olaydır; Kolmogorov yasası, değişkenler bağımsız olduğunda bu tür olayların olasılığının sıfır veya bir olduğunu belirtir.