Ölçüm Teorik Olasılık
Ölçüm teorik olasılık, olasılık teorisinin tamamını toplam kütlesi bir olan bir ölçüm uzayı üzerine inşa eder; olayları ölçülebilir kümeler, rastgele değişkenleri ölçülebilir fonksiyonlar ve beklentiyi bir olasılık ölçüsüne göre entegrasyon olarak yeniden tanımlar.
Tanım
Ölçüm teorik olasılık, olasılığın aksiyomatik temelini oluşturmaktadır; bu yaklaşımda olasılık, olayların bir sigma-cebiri üzerinde toplam kütlesi bir olan sayılabilir derecede toplanabilir bir ölçü olarak tanımlanır, rastgele değişkenler ölçülebilir fonksiyonlardır ve beklenti, bir rastgele değişkenin olasılık ölçüsüne göre integralidir.
Kapsam
Bu alan, olasılık uzaylarını ve olayların sigma-cebirlerini, olasılık ölçülerini ve temel özelliklerini, bağımsızlığı ve Borel-Cantelli lemalarını, beklentinin yakınsama teoremleri ve eşitsizlikleriyle birlikte Lebesgue integrali olarak inşasını ve Radon-Nikodym teoremi aracılığıyla tanımlanan koşullu beklentiyi kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Tutarlı bir olasılık teorisini desteklemek için bir olasılık ataması hangi aksiyomları karşılamalıdır?
- Rastgele değişkenler ve beklentileri soyut bir örneklem uzayında nasıl titizlikle tanımlanır?
- Olayların veya rastgele değişkenlerin bağımsız olması ne anlama gelir ve bunun asimptotik sonuçları nelerdir?
- Olasılığı sıfır olan olaylara veya tüm bir sigma-cebirine koşullandırma yapıldığında koşullu olasılık nasıl tanımlanır?
Temel kuramlar
- Kolmogorov aksiyomları
- Olasılık, olayların bir sigma-cebiri üzerinde toplam kütlesi bir olan, sayılabilir derecede toplanabilir, negatif olmayan bir küme fonksiyonu olarak modellenmektedir. Bu durum, ölçüm teorisinin tüm mekanizmasını kullanılabilir kılar ve olasılığa titiz modern temelini sağlamaktadır.
- Borel-Cantelli lemaları
- Bir olay dizisinin olasılıkları toplanabilir ise, neredeyse kesin olarak sadece sonlu sayıda olay meydana gelmektedir. Tersine, toplanabilir olmayan olasılıklara sahip bağımsız olaylar için, neredeyse kesin olarak sonsuz sayıda olay meydana gelir; bu durum, kuyruk davranışı için keskin bir ikilik sunmaktadır.
- Radon-Nikodym aracılığıyla koşullu beklenti
- Bir alt sigma-cebirine göre koşullu beklenti, integralleri o alt sigma-cebiri üzerinde uyuşan tek integrallenebilir, ölçülebilir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır; varlığı Radon-Nikodym teoremi ile garanti edilmektedir. Martingallerin ve Bayes güncellemesinin temelini oluşturur.
Klinik önem
Bu alan, tüm titiz olasılık teorisinin temelini oluşturmaktadır: limit teoremleri, martingaller, Markov süreçleri ve stokastik kalkülüsün tamamı olasılık uzayı temeli üzerinde geliştirilmektedir. Özellikle koşullu beklenti, filtreleme, tahmin, Bayes çıkarımı ve finansal türevlerin arbitrajsız fiyatlandırılmasının resmi temelini teşkil etmektedir.
Tarihçe
Olasılık, Kolmogorov'un 1933 tarihli monografisiyle titiz bir temele oturtulmuştur. Bu monografi, olasılığı toplam kütlesi bir olan bir ölçü olarak tanımlamış ve Borel, Cantelli ile Levy'nin önceki çalışmalarını birleştirmiştir. Doob ve diğerleri tarafından geliştirilen ölçüm teorik bakış açısı, alanın standart dili haline gelmiş ve Billingsley, Durrett ve Williams'ın lisansüstü ders kitaplarında sunulmaktadır.
Öne çıkan isimler
- Andrey Kolmogorov
- Emile Borel
- Francesco Paolo Cantelli
- Joseph L. Doob
İlgili konular
Temel eserler
- kolmogorov1933
- billingsley1995
Sıkça sorulan sorular
- Olasılığın ölçüm teorisine neden ihtiyacı vardır?
- Ölçüm teorisi, olasılığın sonsuz örneklem uzaylarını, sürekli rastgele değişkenleri ve olayların limitlerini tutarlı bir şekilde ele almasını sağlamaktadır. Bir ölçünün sayılabilir toplanabilirliği, limit teoremlerinin ve koşullu beklentinin iyi tanımlanması için tam olarak gereken özelliktir.
- Olayların bir sigma-cebiri nedir?
- Olayların bir sigma-cebiri, örneklem uzayının, olasılık atanan alt kümelerinin bir koleksiyonudur ve tümleyen ile sayılabilir birleşim altında kapalıdır. Bu kapanma, olayların limitlerinin olasılıklarının hesaplanmasını sağlamaktadır.