Rassal Değişkenler ve Dağılım Fonksiyonları
Rassal değişken, bir olasılık uzayından gerçel sayı doğrusuna tanımlanmış ölçülebilir bir dönüşümdür. Değişkenin belirli bir seviyeyi aşmama olasılığını ifade eden dağılım fonksiyonu ise, değerlerinin nasıl yayıldığını açıklamanın evrensel bir yoludur.
Tanım
Rassal değişken, bir olasılık uzayından gerçel sayılara tanımlanmış ölçülebilir bir fonksiyondur ve dağılım fonksiyonu, her bir gerçel sayıyı, değişkenin o sayıya eşit veya ondan küçük bir değer alma olasılığına eşler.
Kapsam
Bu konu, gerçel ve vektör değerli rassal değişkenlerin ölçülebilirliğini, yığmalı dağılım fonksiyonunu ve monotonluk, sağdan süreklilik ve limitler gibi tanımlayıcı özelliklerini, dağılım fonksiyonları ile gerçel sayı doğrusundaki olasılık ölçümleri arasındaki karşılığı, yoğunlukları ve Lebesgue ayrışımını (ayrık, mutlak sürekli ve tekil kısımlara ayrılma), ayrıca rassal vektörlerin birleşik dağılımlarını ve marjinal dağılımlarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir örneklem uzayındaki bir fonksiyonun rassal değişken olması ne anlama gelmektedir?
- Yığmalı dağılım fonksiyonunu hangi özellikler karakterize eder ve dağılımı nasıl belirler?
- Bir dağılım ne zaman bir yoğunluğa sahiptir ve alternatifleri nelerdir?
- Birden fazla rassal değişkenin birleşik ve marjinal dağılımları nasıl ilişkilidir?
Anahtar kavramlar
- ölçülebilir fonksiyon
- yığmalı dağılım fonksiyonu
- olasılık yoğunluğu
- Lebesgue ayrışımı
- birleşik ve marjinal dağılımlar
Temel kuramlar
- Dağılım fonksiyonu karşılığı
- Gerçel sayı doğrusundaki her olasılık ölçümü, sıfır ve bir limitlerine sahip, tekil, azalmayan ve sağdan sürekli bir dağılım fonksiyonuna karşılık gelmektedir ve bunun tersi de geçerlidir; bu da tek boyutlu dağılımların eksiksiz ve somut bir tanımını sağlamaktadır.
- Bir dağılımın Lebesgue ayrışımı
- Gerçel sayı doğrusundaki herhangi bir dağılım, tekil olarak atomlar üzerinde desteklenen ayrık bir kısma, bir yoğunluğa sahip mutlak sürekli bir kısma ve tekil sürekli bir kısma ayrılmaktadır; bu da bir olasılık yoğunluğunun ne zaman var olduğunu ve ne zaman olmadığını açıklığa kavuşturmaktadır.
Klinik önem
Dağılım fonksiyonları, ampirik verilerin tahmin ettiği ve istatistiksel modellerin varsaydığı yapılardır; ampirik dağılım fonksiyonu, uyum iyiliği testi ve bootstrap yöntemlerinin temelini oluşturmaktadır. Dağılım fonksiyonundan türetilen kantiller, risk altındaki değeri (value-at-risk) ve referans aralıklarını tanımlamaktadır. Yoğunluklar ise, çoğu olabilirlik tabanlı çıkarımda uyarlanan nesnelerdir.
Tarihçe
Rassal değişkenin basitçe ölçülebilir bir fonksiyon olduğu ve davranışının bir dağılım fonksiyonu tarafından yakalandığı anlayışı, yirminci yüzyılın başlarında olasılığın ölçü teorik yeniden formülasyonu ile ortaya çıkmıştır. Bu durum, belirli dağılımların daha önceki vaka bazında ele alınışının yerini almıştır.
Öne çıkan isimler
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Henri Lebesgue
İlgili konular
Temel eserler
- billingsley1995
Sıkça sorulan sorular
- Her rassal değişkenin bir yoğunluğu var mıdır?
- Hayır; yalnızca dağılımı mutlak sürekli olan rassal değişkenlerin bir yoğunluğu bulunmaktadır. Ayrık değişkenler kütleyi tek tek noktalara yerleştirirken, daha nadir görülen tekil sürekli dağılımlar, atomları olmamasına rağmen yoğunluğa sahip değildir.
- Dağılım fonksiyonu neden kesinlikle küçük yerine küçük veya eşit ile tanımlanmaktadır?
- Küçük veya eşit kuralı, dağılım fonksiyonunu sağdan sürekli hale getirmektedir; bu da, temel olasılık ölçümü ve atomlarıyla net bir uyum sağlayan doğal bir seçimdir.