Nonparametrik İstatistik
Nonparametrik istatistik, temel dağılım için belirli bir parametrik form varsaymadan çıkarımlar yapmakta, bu sayede bir miktar verimlilikten ödün vererek sağlamlık ve esneklik sağlamaktadır.
Tanım
Nonparametrik istatistik, sonlu boyutlu bir parametrik model yerine, veri üreten dağılımın yalnızca süreklilik veya düzgünlük gibi geniş niteliksel özelliklerini varsayan tahmin ve test yöntemleri bütünüdür.
Kapsam
Bu alan, işaret (sign), Wilcoxon ve Kruskal-Wallis testleri gibi dağılımdan bağımsız sıra testlerini, ampirik dağılım fonksiyonunu ve tekdüze yakınsamasını, çekirdek (kernel), spline ve yerel yöntemlerle parametrik olmayan yoğunluk ve regresyon tahminini, yanlılık-varyans dengesini ve bant genişliği seçimini, düzgün fonksiyon sınıfları için minimax oranlarını ve örnekleme dağılımlarını verilerin kendisinden yaklaşık olarak elde eden bootstrap ve permütasyon testleri dahil olmak üzere yeniden örnekleme yöntemlerini kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Sıra tabanlı testler, belirli bir dağılım varsaymadan geçerliliği nasıl sağlamaktadır?
- Yoğunluklar ve regresyon fonksiyonları nasıl tahmin edilmekte ve düzleştirme nasıl kontrol edilmektedir?
- Düzleştirmede yanlılık-varyans dengesi nedir ve bant genişliği nasıl seçilmektedir?
- Bootstrap ve permütasyon yöntemleri, örnekleme dağılımlarını verilerden nasıl yaklaşık olarak elde etmektedir?
Temel kuramlar
- Dağılımdan bağımsız sıra yöntemleri
- Veri değerlerini sıralarıyla değiştirmek, sıfır dağılımı temel sürekli dağılıma bağlı olmayan test istatistikleri üretmekte ve bu sayede minimum varsayımlar altında geçerli testler sağlamaktadır.
- Düzleştirme ve yanlılık-varyans dengesi
- Yoğunlukların ve regresyon fonksiyonlarının çekirdek (kernel) ve spline tahmin edicileri, bir bant genişliği aracılığıyla yanlılığı varyansa karşı dengelemekte, minimax kuramı ise belirli bir düzgünlük sınıfı için optimal oranı vermektedir.
- Yeniden örnekleme
- Bootstrap ve permütasyon yöntemleri, gözlemlenen verileri tekrar tekrar yeniden örnekleyerek bir istatistiğin örnekleme dağılımını yaklaşık olarak elde etmekte, bu sayede az varsayımla standart hatalar, güven aralıkları ve testler sağlamaktadır.
Klinik önem
Verilerin sıralı (ordinal), çarpık (skewed) veya aykırı değerlerle (outliers) kirlenmiş olduğu durumlarda nonparametrik yöntemler vazgeçilmezdir: sıra testleri klinik ve ekolojik çalışmalarda standart olarak kullanılmakta, çekirdek (kernel) ve spline düzleştiriciler doz-yanıt ve büyüme eğrilerini tanımlamakta, bootstrap ise formül bulunmadığında güven aralıkları sağlamaktadır.
Tarihçe
Dağılımdan bağımsız sıra testleri 1945'te Wilcoxon ile ortaya çıkmış, Mann-Whitney ve Kruskal-Wallis testleri ise kısa süre sonra geliştirilmiştir. Yoğunluk tahmini 1950'ler ve 1960'larda Rosenblatt ve Parzen aracılığıyla gelişmiş, Efron'un 1979'daki bootstrap'ı ise bilgisayar yoğun yeniden örnekleme yöntemlerini konunun merkezine taşımıştır.
Öne çıkan isimler
- Frank Wilcoxon
- Bradley Efron
- Emanuel Parzen
- Larry Wasserman
İlgili konular
Temel eserler
- wasserman2006
Sıkça sorulan sorular
- Nonparametrik yöntemler daha az varsayım yaptıkları için her zaman daha mı iyidir?
- Hayır. Daha az varsayım yapmak sağlamlık sağlamakla birlikte verimlilikten ödün vermektedir: parametrik bir model doğru olduğunda, parametrik yöntemler daha güçlüdür, bu nedenle nonparametrik yöntemler esas olarak modelin doğruluğundan şüphe duyulduğunda tercih edilmektedir.
- Nonparametrik, hiç parametre olmadığı anlamına mı gelmektedir?
- Hayır. Bu, modelin sabit, sonlu bir parametre kümesiyle tanımlanmadığı anlamına gelmektedir; hedef, yoğunluk veya regresyon eğrisi gibi, etkili bir şekilde sonsuz boyutlu olan bütün bir fonksiyon olabilir.