Nokta Tahmini
Nokta tahmini, bilinmeyen bir parametrenin tek bir en iyi tahminiyle verilerin nasıl özetleneceğini ve bir tahmin edicinin diğerinden daha iyi olup olmadığının nasıl değerlendirileceğini inceleyen bir alandır.
Tanım
Nokta tahmini, istatistiksel çıkarımın, gözlemlenen verileri kullanarak, bilinmeyen bir popülasyon parametresine en iyi mevcut yaklaşım olarak, nokta tahmini adı verilen tek bir değer üretmekle ilgilenen dalıdır.
Kapsam
Bu alan, yeterli ve tam istatistikler aracılığıyla verilerin indirgenmesini, maksimum olabilirlik ve momentler yöntemiyle tahmin edicilerin oluşturulmasını, yanlılık, varyans ve ortalama karesel hata (mean squared error) yoluyla tahmin edicilerin değerlendirilmesini, Cramer-Rao bilgi sınırı ve etkinlik (efficiency) kavramını, minimum varyanslı yansız tahmin edicilere ulaşmada Rao-Blackwell ve Lehmann-Scheffe yaklaşımlarını, ayrıca azaltılmış risk karşılığında yanlılığı kabul eden Bayes ve büzülme (shrinkage) tahmin edicilerini kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Bir örneklem, parametre hakkındaki bilgiyi kaybetmeden yeterli bir istatistiğe nasıl indirgenebilir?
- Bir tahmin ediciyi diğerinden daha iyi yapan nedir ve yanlılık ile varyans ortalama karesel hatada (mean squared error) nasıl birleşir?
- Yansız bir tahmin edicinin varyansı ne kadar düşük olabilir ve bu sınıra ne zaman ulaşılır?
- Bir tahmin ediciyi bir önsel (prior) veya sabit bir noktaya doğru büzmek (shrinking) genel riskini ne zaman azaltır?
Temel kuramlar
- Yeterlilik ve çarpanlara ayırma teoremi
- Yeterli bir istatistik, bir parametre hakkındaki tüm örneklem bilgisini yakalar; çarpanlara ayırma teoremi, olabilirlik fonksiyonunun verilere ve parametreye bağımlılık şeklinden yeterliliği tanımlar ve tamlık (completeness), yansız tahmin edicilerin tekliğini sağlar.
- Maksimum olabilirlik tahmini
- Gözlemlenen verileri en olası kılan parametrenin tahmin edilmesidir; düzenlilik koşulları altında maksimum olabilirlik tahmin edicisi tutarlı, asimptotik olarak normal ve asimptotik olarak etkindir.
- Cramer-Rao sınırı ve etkinlik
- Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansı, Fisher bilgisinin tersi ile alttan sınırlıdır; bu sınıra ulaşan bir tahmin edici etkindir ve Rao-Blackwell ile Lehmann-Scheffe teoremleri minimum varyanslı yansız tahmin edicileri oluşturur.
Klinik önem
Nokta tahmin edicileri, uygulamalı nicel bilimin temel araçlarıdır: maksimum olabilirlik, istatistiksel ve makine öğrenimi modellerinin uyarlanmasının temelini oluşturmaktadır; büzülme (shrinkage) tahmin edicileri, yüksek boyutlu problemlerde tahmin performansını iyileştirmektedir; ve Fisher bilgisi, deneylerin bir parametreyi ne kadar hassas bir şekilde çözebileceğini belirleyerek örneklem büyüklüğü ve deney tasarımı kararlarını etkilemektedir.
Tarihçe
Fisher, 1920'lerde olabilirlik, yeterlilik, bilgi ve etkinlik kavramlarını tanıtarak modern tahmin kuramının temellerini atmıştır. Rao ve Cramer, 1945 civarında varyans sınırını belirlemiştir. Rao ve Blackwell, daha sonra Lehmann ve Scheffe, yansız tahmin kuramını tamamlamıştır. Stein'ın 1956'da üç veya daha fazla boyutta kabul edilemezlik (inadmissibility) keşfi ise büzülme (shrinkage) çalışmalarının önünü açmıştır.
Öne çıkan isimler
- Ronald A. Fisher
- Calyampudi Radhakrishna Rao
- Erich L. Lehmann
- Charles Stein
İlgili konular
Temel eserler
- lehmannCasella1998
Sıkça sorulan sorular
- Bir tahmin edici (estimator) ile bir tahmin (estimate) arasındaki fark nedir?
- Bir tahmin edici (estimator), veriler görülmeden önce rastgele bir değişken olarak kabul edilen, verilerin bir kuralı veya fonksiyonudur; bir tahmin (estimate) ise veriler gözlemlendikten sonra tahmin edicinin aldığı belirli sayısal değerdir.
- Yansız bir tahmin edici her zaman en iyi seçim midir?
- Her zaman değil. Yanlı bir tahmin edici, en iyi yansız olandan daha küçük ortalama karesel hataya (mean squared error) sahip olabilir; bu nedenle genel doğruluk sıfır yanlılıktan daha önemli olduğunda büzülme (shrinkage) ve Bayes tahmin edicileri sıklıkla tercih edilmektedir.