Beklenti ve İntegrasyon
Beklenti, bir rastgele değişkenin olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olup, ayrık değişkenler için toplamları ve sürekli değişkenler için integralleri birleştiren tek bir kavramdır ve ölçü teorisinden güçlü yakınsaklık teoremlerini miras almaktadır.
Tanım
Bir rastgele değişkenin beklentisi, olasılık ölçüsüne göre integralidir; bu integral, ilk olarak negatif olmayan değişkenler için basit yaklaşımlar üzerinden bir supremum olarak oluşturulmakta, ardından pozitif ve negatif kısımların farkı olarak integrallenebilir değişkenlere genişletilmektedir.
Kapsam
Bu konu, basit, negatif olmayan ve integrallenebilir rastgele değişkenler için beklentinin oluşturulmasını, monoton ve baskın yakınsaklık teoremlerini ve Fatou lemmasını, beklentiyi dağılıma göre integrallerle ilişkilendiren değişken değiştirme formülünü, momentleri ve Lp uzaylarını, ayrıca Jensen, Holder, Markov ve Chebyshev eşitsizliklerini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Beklenti, sadece ayrık veya sürekli değişkenler için değil, keyfi bir rastgele değişken için nasıl tanımlanır?
- Hangi koşullar altında bir limit, bir beklentinin içine taşınabilir?
- Momentler ve Lp uzayları, bir rastgele değişkenin büyüklüğünü nasıl nicelleştirir?
- Hangi eşitsizlikler, olasılıkları ve beklentileri momentler cinsinden sınırlar?
Anahtar kavramlar
- Lebesgue integrali olarak beklenti
- monoton ve baskın yakınsaklık
- Fatou lemmas
- momentler ve varyans
- rastgele değişkenlerin Lp uzayları
Temel kuramlar
- Monoton ve baskın yakınsaklık teoremleri
- Artan negatif olmayan rastgele değişkenler için limitin beklentisi, beklentilerin limitine eşittir; integrallenebilir bir değişken tarafından baskın olan diziler için de aynı değişim geçerlidir, bu da temel teorinin eksik olduğu limit teoremlerini sağlamaktadır.
- Jensen eşitsizliği
- Konveks bir fonksiyon için, bir rastgele değişkenin fonksiyonunun beklentisi, o fonksiyonun beklentisinin fonksiyonundan en azdır; bu durum, moment karşılaştırmalarını, koşullu beklentinin büzülme özelliğini ve olasılık boyunca birçok sınırı sağlamaktadır.
- Markov ve Chebyshev eşitsizlikleri
- Negatif olmayan bir rastgele değişkenin belirli bir seviyeyi aşma olasılığı, ortalamasının o seviyeye bölünmesiyle sınırlanmaktadır; kareli sapmalara uygulandığında ise bu durum, varyans cinsinden dağılımı kontrol etmekte ve büyük sayılar zayıf yasasına giden temel yolu sunmaktadır.
Klinik önem
Beklenti ve eşitsizlikleri, belirsizlik altında niceliklerin ortalamasının alındığı her yerde kullanılmaktadır: istatistik ve finansta ortalamaları, varyansları ve risk ölçütlerini tanımlamakta, öğrenme teorisi ve randomize algoritmaların arkasındaki yoğunlaşma sınırlarını sağlamakta ve Monte Carlo tahminini haklı çıkaran yakınsaklık teoremlerini sunmaktadır.
Tarihçe
Lebesgue integrali kullanıma sunulduğunda, olasılıkçılar beklentiyi olasılık ölçüsüne göre integrasyonla özdeşleştirmişlerdir; bu özdeşleştirme Kolmogorov'un çerçevesinde açıkça belirtilmiş ve standart lisansüstü ders kitaplarında yakınsaklık teoremleri ve klasik eşitsizlikleriyle birlikte geliştirilmiştir.
Öne çıkan isimler
- Henri Lebesgue
- Johan Jensen
- Pafnuty Chebyshev
- Andrey Markov
İlgili konular
Temel eserler
- billingsley1995
Sıkça sorulan sorular
- Beklenti, sonuçlar üzerindeki ortalama ile aynı mıdır?
- Esasen evet: her bir sonucun olasılığı ile ağırlıklandırılmış rastgele değişkenin integralidir; bu, ayrık değişkenler için ağırlıklı bir toplama, sürekli değişkenler için ise bir yoğunluğa karşı sıradan bir integrale indirgenmektedir.
- Bir limiti ve bir beklentiyi ne zaman değiştirebilirim?
- Monoton yakınsaklık teoremi, artan negatif olmayan diziler için buna izin vermektedir ve baskın yakınsaklık teoremi, dizi sabit bir integrallenebilir değişkenle sınırlı olduğunda buna izin vermektedir; bu tür koşullar olmadan değişim başarısız olabilir.