สมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลาและไม่ขึ้นกับเวลา

สมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลาจะบอกฟังก์ชันคลื่นถึงวิธีการวิวัฒนาการ และการแยกส่วนการขึ้นกับเวลาจะลดทอนให้เป็นสมการที่ไม่ขึ้นกับเวลา ซึ่งเป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่คำตอบคือสถานะคงที่ที่มีพลังงานที่แน่นอน

Definition

สมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลากล่าวว่าฮามิลโทเนียนสร้างการวิวัฒนาการของฟังก์ชันคลื่นตามเวลา ในขณะที่สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาคือสมการค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์ซึ่งคำตอบคือสถานะคงที่ที่มีพลังงานที่แน่นอน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลาและการอนุรักษ์ความน่าจะเป็น การแยกตัวแปรสำหรับฮามิลโทเนียนที่ไม่ขึ้นกับเวลา สมการที่ไม่ขึ้นกับเวลาในฐานะปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของพลังงาน สถานะคงที่และการวิวัฒนาการเฟสที่ไม่สำคัญ การขยายสถานะทั่วไปในสถานะลักษณะเฉพาะของพลังงาน และตัวแพร่ที่ทำให้สถานะใดๆ ก้าวหน้าไปตามเวลา

Core questions

• ฮามิลโทเนียนกำหนดการวิวัฒนาการของสถานะควอนตัมใดๆ ได้อย่างไร?
• เหตุใดการแยกเวลาออกจากอวกาศจึงนำไปสู่ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของพลังงาน?
• อะไรคือความพิเศษของสถานะคงที่ภายใต้การวิวัฒนาการของเวลา?
• สถานะในอนาคตของการซ้อนทับแบบสุ่มคำนวณได้อย่างไร?

Key concepts

• ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน
• สถานะคงที่
• ค่าลักษณะเฉพาะของพลังงาน
• การแยกตัวแปร
• การอนุรักษ์ความน่าจะเป็น
• ตัวแพร่

Key theories

การแยกตัวแปร

เมื่อฮามิลโทเนียนไม่มีการขึ้นกับเวลาอย่างชัดเจน คำตอบในรูปของฟังก์ชันเชิงพื้นที่คูณด้วยเฟสเวลาจะลดสมการเต็มรูปแบบให้เป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่ขึ้นกับเวลา โดยที่สถานะลักษณะเฉพาะของพลังงานแต่ละสถานะจะได้รับเพียงเฟสที่แกว่งไปมาเมื่อเวลาผ่านไป

การขยายสเปกตรัมและตัวแพร่

สถานะเริ่มต้นใดๆ สามารถเขียนได้เป็นการซ้อนทับของสถานะลักษณะเฉพาะของพลังงาน โดยแต่ละสถานะจะวิวัฒนาการด้วยเฟสของตัวเอง ดังนั้นการวิวัฒนาการของเวลาทั้งหมดจึงถูกจับโดยตัวแพร่ที่สร้างขึ้นจากสเปกตรัมพลังงานที่แมปสถานะ ณ เวลาหนึ่งไปยังเวลาใดๆ ในภายหลัง

Clinical relevance

สมการทั้งสองชุดนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการคำนวณเชิงควอนตัมเกือบทั้งหมด: สถานะคงที่ให้เส้นสเปกตรัมที่วัดได้ในการวิเคราะห์สเปกตรัมของอะตอมและโมเลกุล ในขณะที่รูปแบบที่ขึ้นกับเวลาควบคุมการเปลี่ยนผ่าน พลวัตของกลุ่มคลื่น และการควบคุมแบบเชื่อมโยงของคิวบิตในเทคโนโลยีควอนตัม

History

ชโรดิงเงอร์นำเสนอสมการทั้งสองรูปแบบในชุดบทความของเขาในปี 1926 โดยนำสมการที่ไม่ขึ้นกับเวลาไปใช้กับอะตอมไฮโดรเจนทันที; ภายหลังดิแรกและฟอนนอยมันน์ได้ปรับเปลี่ยนการวิวัฒนาการของเวลาในภาษาตัวดำเนินการเชิงนามธรรมของตัวแพร่แบบเอกภาพ

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

เหตุใดจึงเรียกว่าสถานะคงที่หากยังคงวิวัฒนาการตามเวลา?

สถานะคงที่ได้รับเพียงเฟสที่แกว่งไปมาโดยรวม ซึ่งจะหักล้างกันในความน่าจะเป็นของการวัดหรือค่าคาดหวังใดๆ ดังนั้นคุณสมบัติที่สังเกตได้ทั้งหมดจึงยังคงที่ตามเวลา แม้ว่าฟังก์ชันคลื่นเองจะยังคงหมุนอยู่ในระนาบเชิงซ้อนก็ตาม

สามารถใช้สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาได้เมื่อใด?

สามารถใช้ได้เมื่อฮามิลโทเนียนไม่ขึ้นกับเวลาอย่างชัดเจน ซึ่งช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ สำหรับศักย์ที่แปรผันตามเวลา จะต้องแก้สมการที่ขึ้นกับเวลาเต็มรูปแบบ หรือใช้ทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นกับเวลา