สมการชโรดิงเงอร์และฟังก์ชันคลื่น
สมการชโรดิงเงอร์ควบคุมว่าฟังก์ชันคลื่นควอนตัมมีวิวัฒนาการอย่างไร และระบบที่ถูกผูกมัดสามารถมีพลังงานใดได้บ้าง การแก้สมการนี้สำหรับศักย์มาตรฐานจะให้ระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง รูปแบบคลื่นนิ่ง และปรากฏการณ์อุโมงค์ที่กำหนดพฤติกรรมควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพ
Definition
สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพที่กำหนดวิวัฒนาการตามเวลาของฟังก์ชันคลื่นของอนุภาค ซึ่งขนาดกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นจะให้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการพบอนุภาค ณ แต่ละจุด
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลาและผลเฉลยเชิงรูปนัย การแยกตัวแปรที่นำไปสู่สมการที่ไม่ขึ้นกับเวลาและสถานะคงที่ การตีความและการทำให้เป็นบรรทัดฐานของฟังก์ชันคลื่น ปัญหาที่สามารถหาผลเฉลยได้อย่างแม่นยำ เช่น บ่ออนันต์และบ่อจำกัด และฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ และปัญหาอุปสรรคที่แสดงการสะท้อน การส่งผ่าน และการทะลุผ่าน (tunneling)
Sub-topics
Core questions
- ฟังก์ชันคลื่นของระบบควอนตัมมีวิวัฒนาการตามเวลาอย่างไร?
- เหตุใดระบบที่ถูกผูกมัดจึงมีระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องและเป็นควอนตัม?
- ศักย์ที่สามารถหาผลเฉลยได้อย่างแม่นยำเผยให้เห็นอะไรเกี่ยวกับพฤติกรรมควอนตัมโดยทั่วไป?
- อนุภาคสามารถทะลุผ่านสิ่งกีดขวางที่กลศาสตร์คลาสสิกห้ามได้อย่างไร?
Key concepts
- ฟังก์ชันคลื่น
- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
- สถานะคงที่
- การควอนไทซ์พลังงาน
- เงื่อนไขขอบเขต
- การทะลุผ่าน (tunneling)
Key theories
- สมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา
- อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่นถูกกำหนดโดยแฮมิลโทเนียนที่กระทำต่อฟังก์ชันคลื่นนั้น ทำให้เกิดวิวัฒนาการเชิงกำหนดและเป็นเอกภาพของแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ซึ่งสำหรับสถานะเฉพาะของพลังงาน จะลดรูปเป็นเฟสการสั่นที่เรียบง่าย
- สถานะคงที่และการควอนไทซ์
- การแยกเวลาออกจากอวกาศจะเปลี่ยนปัญหาให้เป็นสมการค่าเฉพาะสำหรับแฮมิลโทเนียน ซึ่งผลเฉลยที่ทำให้เป็นบรรทัดฐานได้จะมีอยู่เฉพาะสำหรับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องในศักย์ที่ถูกผูกมัดเท่านั้น ซึ่งอธิบายได้ว่าทำไมระดับพลังงานของอะตอมและโมเลกุลจึงเป็นควอนตัม
Clinical relevance
ผลเฉลยของสมการชโรดิงเงอร์เป็นรากฐานของวิชาเคมีและฟิสิกส์สถานะของแข็ง: ระดับพลังงานควอนตัมอธิบายสเปกตรัมของอะตอมและพันธะโมเลกุล ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์จำลองการสั่นสะเทือนและสนามควอนตัม และปรากฏการณ์อุโมงค์ขับเคลื่อนกล้องจุลทรรศน์แบบส่องกราดด้วยอุโมงค์ (scanning tunneling microscope) ไดโอดอุโมงค์ (tunnel diode) และการสลายให้อนุภาคแอลฟาของนิวเคลียส
History
จากแนวคิดคลื่นสสารของเดอ บรอยล์ ชโรดิงเงอร์ได้ตีพิมพ์สมการคลื่นของเขาในปี ค.ศ. 1926 และใช้มันเพื่อหาสเปกตรัมของไฮโดรเจน บอร์นได้ให้การตีความเชิงความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่น และแกมโมว์ได้นำปรากฏการณ์อุโมงค์มาใช้อธิบายการสลายให้อนุภาคแอลฟาในเวลาต่อมา
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Max Born
- Louis de Broglie
- George Gamow
Related topics
Seminal works
- griffiths2018
- landau1977
Frequently asked questions
- ฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงอะไรในทางกายภาพ?
- ฟังก์ชันคลื่นเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็นเชิงซ้อน ขนาดกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นจะให้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์การวัด เช่น ตำแหน่ง ในขณะที่เฟสของฟังก์ชันคลื่นจะควบคุมการแทรกสอดและวิวัฒนาการตามเวลาของระบบ
- เหตุใดปัญหาควอนตัมบางอย่างจึงสามารถหาผลเฉลยได้อย่างแม่นยำ แต่ส่วนใหญ่ไม่สามารถทำได้?
- ศักย์เพียงไม่กี่ชนิด เช่น บ่อศักย์ ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ และศักย์คูลอมบ์ มีสมมาตรพิเศษหรือโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่ให้ผลเฉลยในรูปแบบปิด ศักย์ที่สมจริงส่วนใหญ่ต้องใช้วิธีการประมาณค่าหรือการหาผลเฉลยเชิงตัวเลข