ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา

การค้นหาระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นสถานะคงที่ของอนุภาคควอนตัมในศักย์เป็นภารกิจแรกของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงคำนวณ ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการยิงตามฟังก์ชันคลื่น หรือโดยการทำให้แฮมิลโทเนียนแบบไม่ต่อเนื่องเป็นแนวทแยง

Definition

สมการชโรดิงเจอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาเป็นสมการค่าไอเกน (eigenvalue equation) ซึ่งผลเฉลยคือสถานะคงที่และระดับพลังงานของระบบควอนตัม การแก้สมการนี้เชิงตัวเลขหมายถึงการค้นหาค่าไอเกนและฟังก์ชันไอเกน (eigenfunctions) เหล่านั้นสำหรับศักย์ที่กำหนด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการชโรดิงเจอร์สถานะคงที่ในหนึ่งและไม่กี่มิติ: การยิงและการจับคู่กับการค้นหาค่าไอเกน, วิธีการอินทิเกรตของนูเมรอฟ (Numerov integration method), และวิธีการเมทริกซ์ที่ทำให้แฮมิลโทเนียนไม่ต่อเนื่องบนกริดหรือในฐาน มันเกี่ยวข้องกับสถานะผูกพัน (bound states) และโดยสังเขปคือสถานะการกระเจิง (scattering states)

Core questions

• วิธีการยิง (shooting method) ค้นหาค่าไอเกนพลังงานโดยการบังคับใช้เงื่อนไขขอบเขตได้อย่างไร?
• เหตุใดวิธีการของนูเมรอฟจึงเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการอินทิเกรตสมการชโรดิงเจอร์?
• การทำให้แฮมิลโทเนียนไม่ต่อเนื่องเปลี่ยนปัญหาให้เป็นการทำให้เมทริกซ์เป็นแนวทแยงได้อย่างไร?
• สถานะผูกพันแบบไม่ต่อเนื่องแตกต่างจากคอนตินิวอัมได้อย่างไร?

Key theories

การยิงและการจับคู่

ฟังก์ชันคลื่นจะถูกอินทิเกรตจากขอบเขตเข้าด้านในสำหรับพลังงานทดลอง และพลังงานจะถูกปรับจนกระทั่งผลเฉลยจากด้านในและด้านนอกตรงกันอย่างราบรื่น ซึ่งจะเลือกค่าไอเกนที่อนุญาต

การอินทิเกรตของนูเมรอฟ

วิธีการของนูเมรอฟใช้ประโยชน์จากโครงสร้างพิเศษของสมการชโรดิงเจอร์ที่ไม่มีพจน์อนุพันธ์อันดับหนึ่ง เพื่อให้ได้ความแม่นยำสูงในอันดับที่สูงโดยมีค่าใช้จ่ายต่ำเมื่อทำการอินทิเกรตฟังก์ชันคลื่น

การทำให้เมทริกซ์แฮมิลโทเนียนเป็นแนวทแยง

การแสดงแฮมิลโทเนียนบนกริดหรือในฐานจำกัดจะให้เมทริกซ์ที่มีค่าไอเกนเป็นระดับพลังงานและเวกเตอร์ไอเกนเป็นฟังก์ชันคลื่นแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งหาได้จากตัวแก้ไอเกนมาตรฐาน

Clinical relevance

การแก้สมการชโรดิงเจอร์สถานะคงที่ให้ระดับพลังงานของอะตอมและโมเลกุล, สเปกตรัมของบ่อควอนตัมและโครงสร้างนาโน, และออร์บิทัลอนุภาคเดี่ยวที่เป็นพื้นฐานของการคำนวณโครงสร้างอิเล็กทรอนิกส์

History

การอินทิเกรตเชิงตัวเลขของสมการชโรดิงเจอร์เกิดขึ้นไม่นานหลังจากการกำหนดสูตรในปี 1926 โดยมีวิธีการของนูเมรอฟ ซึ่งเดิมทีคิดค้นขึ้นสำหรับกลศาสตร์ท้องฟ้า กลายเป็นวิธีการหลัก; การเติบโตของคอมพิวเตอร์ทำให้การทำให้แฮมิลโทเนียนเป็นแนวทแยงทั้งหมดกลายเป็นทางเลือกปกติ

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

เมื่อใดที่ควรใช้วิธีการยิงแทนการทำให้เมทริกซ์เป็นแนวทแยง?

วิธีการยิงเป็นธรรมชาติและแม่นยำสำหรับปัญหาหนึ่งมิติหรือปัญหารัศมีที่ต้องการหาค่าไอเกนเพียงค่าเดียวในแต่ละครั้ง การทำให้เมทริกซ์เป็นแนวทแยงจะสะดวกกว่าเมื่อต้องการหลายระดับพร้อมกัน หรือในมิติที่สูงกว่าที่วิธีการยิงจะทำได้ยาก

เหตุใดวิธีการของนูเมรอฟจึงเป็นที่นิยมสำหรับสมการนี้?

สมการชโรดิงเจอร์ไม่มีพจน์อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ซึ่งวิธีการของนูเมรอฟได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ ทำให้ได้ความแม่นยำอันดับสี่โดยใช้ความพยายามเพิ่มเติมน้อยมากเมื่อเทียบกับตัวอินทิเกรตพื้นฐาน