อนุภาคในกล่องและบ่อศักย์

อนุภาคในกล่องและบ่อศักย์สี่เหลี่ยมเป็นระบบควอนตัมที่ง่ายที่สุดที่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ: การจำกัดอนุภาคบังคับให้พลังงานของมันอยู่ในระดับที่ไม่ต่อเนื่องและฟังก์ชันคลื่นของมันอยู่ในรูปแบบคลื่นนิ่ง ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการควอนตัมในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

Definition

อนุภาคในกล่องคือแบบจำลองของอนุภาคควอนตัมที่ถูกจำกัดอยู่ในบริเวณหนึ่งโดยศักย์ที่มีความลึกอนันต์หรือจำกัด ซึ่งสถานะคงที่ของมันคือคลื่นนิ่งที่มีพลังงานควอนตัมที่ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขต

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมบ่อสี่เหลี่ยมอนันต์พร้อมระดับพลังงานที่แน่นอนและคลื่นนิ่งแบบไซน์, บ่อสี่เหลี่ยมจำกัดพร้อมจำนวนสถานะผูกพันที่จำกัดและการรั่วไหลแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเข้าไปในบริเวณที่ถูกห้ามตามหลักกลศาสตร์คลาสสิก, เงื่อนไขการจับคู่ของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ของมันที่ขอบเขต, พลังงานจุดศูนย์, และการขยายไปสู่กล่องสองและสามมิติที่มีภาวะเสื่อม (degeneracies)

Core questions

• เหตุใดการจำกัดอนุภาคจึงทำให้เกิดระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง?
• เงื่อนไขขอบเขตใดบ้างที่ฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นไปตามที่ผนังของบ่อ?
• เหตุใดบ่อจำกัดจึงรองรับสถานะผูกพันได้เพียงจำนวนจำกัด?
• พลังงานจุดศูนย์คืออะไร และเหตุใดจึงไม่สามารถกำจัดออกไปได้?

Key concepts

• บ่อสี่เหลี่ยมอนันต์
• บ่อสี่เหลี่ยมจำกัด
• คลื่นนิ่ง
• เงื่อนไขขอบเขต
• พลังงานจุดศูนย์
• ภาวะเสื่อม (degeneracy)

Key theories

บ่อสี่เหลี่ยมอนันต์

อนุภาคที่ถูกจำกัดอยู่ระหว่างผนังที่ทะลุผ่านไม่ได้จะมีฟังก์ชันคลื่นที่เป็นศูนย์ที่ผนัง บังคับให้เกิดคลื่นนิ่งที่มีจำนวนครึ่งความยาวคลื่นเป็นจำนวนเต็มและพลังงานที่เพิ่มขึ้นเป็นกำลังสองของจำนวนเต็มนั้น ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการควอนตัม

บ่อสี่เหลี่ยมจำกัด

เมื่อผนังมีความสูงจำกัด ฟังก์ชันคลื่นจะรั่วไหลแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเข้าไปในบริเวณที่ถูกห้าม และบ่อจะรองรับสถานะผูกพันได้เพียงจำนวนจำกัดซึ่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไขการจับคู่แบบอดิศัย โดยมีสถานะผูกพันอย่างน้อยหนึ่งสถานะอยู่เสมอในหนึ่งมิติ

Clinical relevance

แบบจำลองกล่องเป็นรากฐานของนาโนวิทยา: บ่อควอนตัม, สายควอนตัม, และจุดควอนตัมในสารกึ่งตัวนำมีพฤติกรรมเหมือนอนุภาคในกล่องที่ถูกออกแบบมา โดยระดับที่ไม่ต่อเนื่องของมันจะปรับแต่งสีของจอแสดงผลแบบจุดควอนตัมและการทำงานของเลเซอร์และตัวตรวจจับแบบบ่อควอนตัม

History

แบบจำลองอนุภาคที่ถูกจำกัดเกิดขึ้นทันทีหลังจากสมการของชโรดิงเงอร์ในปี 1926 ในฐานะที่เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการควอนตัม; มันกลับมามีความสำคัญอีกครั้งในช่วงปลายศตวรรษที่ยี่สิบเมื่อเทคนิคการเติบโตผลึกด้วยลำโมเลกุล (molecular-beam epitaxy) ทำให้สามารถสร้างบ่อควอนตัมสารกึ่งตัวนำจริงที่ตรงกับอุดมคติในตำราเรียนได้

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Arnold Sommerfeld
• Lev Landau

Seminal works

• griffiths2018
• cohentannoudji2019

Frequently asked questions

เหตุใดพลังงานต่ำสุดในกล่องจึงต้องมากกว่าศูนย์?

การจำกัดอนุภาคให้อยู่ในบริเวณจำกัดบังคับให้ฟังก์ชันคลื่นของมันโค้งงอและทำให้เกิดการกระจายโมเมนตัมที่ไม่เป็นศูนย์ตามหลักความไม่แน่นอน ดังนั้นพลังงานจลน์จึงไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ค่าต่ำสุดที่ลดทอนไม่ได้นี้คือพลังงานจุดศูนย์

บ่อจำกัดแตกต่างจากบ่ออนันต์อย่างไร?

บ่ออนันต์มีสถานะผูกพันจำนวนอนันต์และฟังก์ชันคลื่นที่เป็นศูนย์อย่างเคร่งครัดที่ผนัง ในขณะที่บ่อจำกัดรองรับสถานะผูกพันได้เพียงจำนวนจำกัดซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะขยายออกไปในระยะทางสั้นๆ ในบริเวณที่ถูกห้ามตามหลักกลศาสตร์คลาสสิก