สัจพจน์การแยกและเมทริเซชัน

สัจพจน์การแยกจัดลำดับปริภูมิเชิงทอพอโลยีตามความสามารถในการแยกจุดและเซตปิดออกจากกันด้วยเซตเปิด และทฤษฎีบทเมทริเซชันระบุอย่างชัดเจนว่าปริภูมิใดที่แยกได้ดีพอที่จะมีเมตริกที่เข้ากันได้

Definition

สัจพจน์การแยกเป็นเงื่อนไขที่ระบุว่าจุดที่แตกต่างกัน หรือจุดและเซตปิดที่ไม่ต่อเนื่องกัน สามารถแยกได้ด้วยเซตเปิดที่ไม่ต่อเนื่องกัน หรือด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง; ทฤษฎีบทเมทริเซชันให้เงื่อนไขเชิงทอพอโลยีที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับปริภูมิที่จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิเมตริก

Scope

หัวข้อนี้พัฒนาลำดับชั้นของสัจพจน์การแยก (T0 ถึง T4: ปริภูมิ Kolmogorov, T1, Hausdorff, regular และ normal) และความคงทนภายใต้ปริภูมิย่อยและผลคูณ ครอบคลุมเครื่องมือที่ทำให้ภาวะปกติมีประสิทธิภาพ — บทตั้งของ Urysohn ที่สร้างฟังก์ชันแยกแบบต่อเนื่องและทฤษฎีบทส่วนขยายของ Tietze — และจบลงด้วยเมทริเซชัน: ทฤษฎีบทเมทริเซชันของ Urysohn และลักษณะเฉพาะของ Nagata-Smirnov ที่กำหนดว่าเมื่อใดที่ทอพอโลยีเชิงนามธรรมมาจากเมตริก ภาวะกะทัดรัดแบบพาราคอมแพกต์และการแบ่งพาร์ติชันของเอกภาพถูกรวมไว้เป็นสะพานเชื่อมไปสู่ทฤษฎีแมนิโฟลด์

Core questions

• สัจพจน์การแยก T0 ถึง T4 เสริมความแข็งแกร่งซึ่งกันและกันอย่างไร และสัจพจน์ใดที่ไม่ได้รับการสืบทอดโดยผลคูณ?
• เหตุใดภาวะปกติ โดยผ่านบทตั้งของ Urysohn จึงให้ฟังก์ชันต่อเนื่องที่แยกเซตปิด?
• เงื่อนไขเชิงทอพอโลยีใดที่เทียบเท่ากับความสามารถในการเป็นเมตริกอย่างแท้จริง?
• ภาวะกะทัดรัดแบบพาราคอมแพกต์และการแบ่งพาร์ติชันของเอกภาพทำให้ปริภูมิปกติสามารถใช้สำหรับการวิเคราะห์บนแมนิโฟลด์ได้อย่างไร?

Key concepts

• การแยกแบบ T0, T1 และ Hausdorff (T2)
• ปริภูมิ Regular (T3) และ normal (T4)
• บทตั้งของ Urysohn และทฤษฎีบทส่วนขยายของ Tietze
• ทฤษฎีบทเมทริเซชันของ Urysohn และ Nagata-Smirnov
• ภาวะกะทัดรัดแบบพาราคอมแพกต์และการแบ่งพาร์ติชันของเอกภาพ

Clinical relevance

กลไกการแยกและเมทริเซชันเป็นรากฐานของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์บนแมนิโฟลด์: การแบ่งพาร์ติชันของเอกภาพ ซึ่งมีอยู่ในปริภูมิ Hausdorff แบบพาราคอมแพกต์ เป็นอุปกรณ์มาตรฐานสำหรับการปะติดปะต่อโครงสร้างเฉพาะที่ให้เป็นโครงสร้างส่วนรวม และความสามารถในการเป็นเมตริกรับประกันสัญชาตญาณเชิงเมตริกที่ใช้ตลอดเรขาคณิต

History

สัจพจน์การแยกได้รับการจัดระบบในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930; บทตั้งของ Urysohn และทฤษฎีบทเมทริเซชันของเขา (1925) ได้ให้เกณฑ์เมทริเซชันเชิงลึกครั้งแรก ซึ่งสมบูรณ์สำหรับปริภูมิทั่วไปโดยทฤษฎีบท Nagata-Smirnov ประมาณปี 1950 ซึ่งกำหนดรูปทรงที่ทันสมัยของบทสุดท้ายของทอพอโลยีเชิงจุด-เซต

Key figures

• Pavel Urysohn
• Heinrich Tietze
• Jun-iti Nagata

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

ปริภูมิ Hausdorff ทุกปริภูมิเป็นเมตริกได้หรือไม่?

ไม่ ความสามารถในการเป็นเมตริกต้องการมากกว่านั้น — ตัวอย่างเช่น ตามทฤษฎีบทของ Urysohn ปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับสองจะเป็นเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็น regular และ Hausdorff เท่านั้น และมีปริภูมิ Hausdorff ที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าเหล่านี้

บทตั้งของ Urysohn ใช้สำหรับอะไร?

รับประกันว่าในปริภูมิปกติ เซตปิดที่ไม่ต่อเนื่องกันสองเซตใดๆ สามารถแยกได้ด้วยฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง ซึ่งเป็นขั้นตอนสำคัญทั้งในทฤษฎีบทส่วนขยายของ Tietze และทฤษฎีบทเมทริเซชัน