แมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์

แมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์คือปริภูมิที่ในระดับท้องถิ่นมีลักษณะคล้ายปริภูมิแบบยุคลิด และเชื่อมต่อกันด้วยการเปลี่ยนแปลงพิกัดที่เรียบ ทำให้เป็นฉากที่สามารถทำการคำนวณแคลคูลัสบนปริภูมิโค้งได้

Definition

แมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ (เรียบ) ที่มีมิติ n คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบ Hausdorff ที่นับได้เป็นอันดับสอง ซึ่งมีแอตลาสของแผนภูมิไปยังเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด n มิติ โดยที่การแปลงผ่านของแผนภูมิเหล่านั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง

Scope

หัวข้อนี้จะนิยามแมนิโฟลด์ผ่านแอตลาสของแผนภูมิ (charts) ที่มีการแปลงผ่าน (transition maps) ที่เรียบ พัฒนาโครงสร้างเรียบ และกล่าวถึงการสร้างพื้นฐาน: แมนิโฟลด์ย่อย (submanifolds), ทฤษฎีอันดับ (rank) และค่าปกติ (regular-value) ที่ให้เซตระดับ (level sets) เป็นแมนิโฟลด์, การแบ่งส่วนของเอกภาพ (partitions of unity), และการฝังตัวในปริภูมิยุคลิด (ทฤษฎีการฝังตัวของ Whitney) นอกจากนี้ยังแนะนำความแตกต่างระหว่างโครงสร้างเชิงทอพอโลยีและโครงสร้างเรียบ การมีอยู่ของโครงสร้างเรียบที่แปลกประหลาด (exotic smooth structures) ที่น่าประหลาดใจ และกลุ่มลี (Lie groups) ในฐานะแมนิโฟลด์ที่มีการดำเนินการกลุ่มที่เข้ากันได้

Core questions

• แผนภูมิและการแปลงผ่านที่เรียบช่วยให้การคำนวณแคลคูลัสสามารถถ่ายทอดไปยังปริภูมิโค้งได้อย่างไม่คลุมเครือได้อย่างไร?
• เมื่อใดที่เซตระดับของการแมปที่เรียบมีโครงสร้างแมนิโฟลด์ตามธรรมชาติ?
• เหตุใดแมนิโฟลด์เรียบทุกอันจึงสามารถฝังตัวอยู่ในปริภูมิยุคลิดบางอันได้?
• แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเดี่ยวสามารถมีโครงสร้างเรียบที่ไม่สมมูลกันได้อย่างไร?

Key concepts

• แผนภูมิ, แอตลาส, และการแปลงผ่านที่เรียบ
• โครงสร้างเรียบและแมนิโฟลด์ย่อย
• ทฤษฎีบทค่าปกติและเซตระดับในฐานะแมนิโฟลด์
• การแบ่งส่วนของเอกภาพและทฤษฎีบทการฝังตัวของ Whitney
• โครงสร้างเชิงทอพอโลยีเทียบกับโครงสร้างเรียบและแมนิโฟลด์ที่แปลกประหลาด

Clinical relevance

แมนิโฟลด์เป็นเวทีสากลสำหรับเรขาคณิตและฟิสิกส์สมัยใหม่: ปริภูมิการจัดเรียง (configuration space) และปริภูมิเฟส (phase space) ในกลศาสตร์, ปริภูมิ-เวลา (spacetime) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป, และกลุ่มลีในสมมาตร ล้วนเป็นแมนิโฟลด์ และความละเอียดอ่อนของโครงสร้างเรียบที่ Milnor ค้นพบได้ปรับเปลี่ยนทอพอโลยีในศตวรรษที่ยี่สิบ

History

แนวคิดของแมนิโฟลด์ของ Riemann ในปี 1854 ได้รับการทำให้แม่นยำขึ้นผ่านคำนิยามโดยแอตลาสในช่วงต้นศตวรรษที่ 20; ทฤษฎีบทการฝังตัวของ Whitney ในทศวรรษ 1930 ได้วางรากฐานของทฤษฎีเชิงนามธรรม และการค้นพบ 7-sphere ที่แปลกประหลาดของ Milnor ในปี 1956 ได้เปิดเผยว่าโครงสร้างเรียบมีข้อมูลที่นอกเหนือจากทอพอโลยี

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

อะไรที่ทำให้แมนิโฟลด์เป็นเชิงอนุพันธ์มากกว่าแค่เชิงทอพอโลยี?

แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีต้องการเพียงแผนภูมิไปยังปริภูมิยุคลิดเท่านั้น; แมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ต้องการเพิ่มเติมว่าการแปลงผ่านระหว่างแผนภูมิที่ทับซ้อนกันจะต้องเรียบ เพื่อให้แนวคิดของฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์ถูกกำหนดไว้อย่างดี

ทรงกลมที่แปลกประหลาด (exotic sphere) คืออะไร?

มันคือแมนิโฟลด์ที่เป็น homeomorphic แต่ไม่ diffeomorphic กับทรงกลมมาตรฐาน; การค้นพบโครงสร้างดังกล่าวบน 7-sphere ของ Milnor แสดงให้เห็นว่าโครงสร้างเรียบไม่ได้ถูกกำหนดโดยทอพอโลยีพื้นฐาน