ทอพอโลยีทั่วไป
ทอพอโลยีทั่วไปศึกษาปริภูมิที่นิยามโดยแนวคิดเรื่องความใกล้ชิด — เซตเปิด — และฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเหล่านั้น ซึ่งเป็นรากฐานภาษาของลิมิต การลู่เข้า และความต่อเนื่องสำหรับเรขาคณิตและคณิตวิเคราะห์ส่วนที่เหลือ
Definition
ทอพอโลยีบนเซต X คือกลุ่มของเซตย่อย (เซตเปิด) ที่ประกอบด้วยเซตว่างและ X และปิดภายใต้การยูเนียนโดยพลการและการอินเตอร์เซกชันจำกัด; ทอพอโลยีทั่วไปคือการศึกษาปริภูมิเช่นว่านี้และฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเหล่านั้น
Scope
สาขานี้ครอบคลุมกรอบนามธรรมของปริภูมิเชิงทอพอโลยี: วิธีการระบุทอพอโลยี (เซตเปิด, ฐาน, ฐานย่อย), วิธีการนิยามความต่อเนื่องและสาทิสสัณฐานโดยไม่กล่าวถึงระยะทาง, และคุณสมบัติโดยรวมที่จำแนกปริภูมิ ซึ่งส่วนใหญ่ได้แก่ ความกะทัดรัด ความเชื่อมโยง และลำดับชั้นการแยก. รวมถึงการสร้างผลคูณ ปริภูมิย่อย และผลหาร และผลลัพธ์การทำให้เป็นเมตริกที่เชื่อมโยงทอพอโลยีเชิงนามธรรมกลับไปยังปริภูมิเมตริก. ไม่รวมตัวแปรไม่เปลี่ยนเชิงพีชคณิตของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตและโครงสร้างเรียบของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งสร้างขึ้นบนรากฐานนี้.
Sub-topics
Core questions
- ข้อมูลขั้นต่ำใดที่ระบุแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องบนเซต โดยไม่ขึ้นกับเมตริกใดๆ?
- คุณสมบัติเชิงทอพอโลยีใดบ้างที่ยังคงอยู่ภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ผลคูณ ปริภูมิย่อย และผลหาร?
- เมื่อใดที่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเชิงนามธรรมสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นปริภูมิเมตริก (การทำให้เป็นเมตริก)?
- ความกะทัดรัดและความเชื่อมโยงเข้ารหัสรูปร่างโดยรวมและพฤติกรรมจำกัดของปริภูมิได้อย่างไร?
Key concepts
- เซตเปิดและเซตปิด, ย่านใกล้เคียง, ภายในและส่วนปิด
- ฐานและฐานย่อยสำหรับทอพอโลยี
- ฟังก์ชันต่อเนื่อง, สาทิสสัณฐาน, และตัวแปรไม่เปลี่ยนเชิงทอพอโลยี
- ทอพอโลยีปริภูมิย่อย, ผลคูณ, และผลหาร
- ความกะทัดรัด, ความเชื่อมโยง, และสัจพจน์การแยก
Clinical relevance
ทอพอโลยีทั่วไปเป็นพื้นฐานร่วมของคณิตศาสตร์สมัยใหม่: เป็นตัวให้ความหมายที่แม่นยำของการลู่เข้าและความต่อเนื่องที่ใช้ในการวิเคราะห์, ปริภูมิที่เป็นรากฐานของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์, และข้อกำหนดเบื้องต้นของจุด-เซตที่ใช้ในทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
History
ทอพอโลยีจุด-เซตเติบโตมาจากความพยายามในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 ในการสร้างแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องจากเส้นจำนวนจริงให้เป็นนามธรรม โดยตกผลึกในการวางระบบสัจพจน์ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีของเฮาส์ดอร์ฟในปี 1914 และพัฒนาเป็นหลักสูตรมาตรฐานที่ถูกจัดระบบโดยตำราในช่วงกลางศตวรรษ เช่น Kelley (1955) และ Munkres.
Key figures
- Felix Hausdorff
- James Munkres
- John L. Kelley
Related topics
Seminal works
- munkres2000
- kelley1955
Frequently asked questions
- ทอพอโลยีทั่วไปแตกต่างจากทอพอโลยีเชิงพีชคณิตอย่างไร?
- ทอพอโลยีทั่วไปพัฒนาพื้นฐานของจุด-เซต — เซตเปิด, ความต่อเนื่อง, ความกะทัดรัด, ความเชื่อมโยง — ในขณะที่ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตกำหนดตัวแปรไม่เปลี่ยนเชิงพีชคณิต เช่น โฮโมโทปีและกลุ่มโฮโมโลยีให้กับปริภูมิเพื่อจำแนกความแตกต่างของปริภูมิเหล่านั้นจนถึงการแปลงรูป
- เหตุใดจึงนิยามทอพอโลยีด้วยเซตเปิดแทนที่จะเป็นระยะทาง?
- ปริภูมิที่สำคัญหลายแห่ง (ผลหาร, ปริภูมิฟังก์ชัน, ปริภูมิผลคูณเชิงนามธรรม) ไม่มีเมตริกที่เป็นธรรมชาติ แต่ยังคงมีแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องที่นิยามไว้อย่างดี; สัจพจน์เซตเปิดครอบคลุมความต่อเนื่องในการตั้งค่าทั่วไปนี้