ปริภูมิเชิงทอพอโลยีและความต่อเนื่อง

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเข้ารหัสว่าจุดใดอยู่ใกล้จุดใดผ่านกลุ่มของเซตเปิด และฟังก์ชันต่อเนื่องคือฟังก์ชันที่เคารพความใกล้ชิดนี้ โดยการดึงเซตเปิดกลับไปยังเซตเปิด

Definition

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือเซต X พร้อมกับทอพอโลยี ซึ่งเป็นกลุ่มของเซตย่อยเปิดที่ปิดภายใต้การยูเนียนแบบใดก็ได้และการอินเตอร์เซกชันแบบจำกัด และประกอบด้วยเซตว่างและ X; ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะต่อเนื่องถ้าภาพผกผันของทุกเซตเปิดเป็นเซตเปิด และโฮมีโอมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่ต่อเนื่องและมีฟังก์ชันผกผันที่ต่อเนื่อง

Scope

หัวข้อนี้ให้นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีผ่านสัจพจน์เซตเปิดและภาษาที่เทียบเท่ากันของเซตปิด, บริเวณใกล้เคียง, การปิดล้อม และภายใน นอกจากนี้ยังพัฒนาฐานและฐานย่อยเป็นวิธีที่ประหยัดในการระบุทอพอโลยี, ทอพอโลยีปริภูมิย่อย, ผลคูณ และผลหาร รวมถึงแนวคิดหลักของความต่อเนื่อง, โฮมีโอมอร์ฟิซึม และตัวแปรเชิงทอพอโลยี หัวข้อนี้ยังกล่าวถึงการลู่เข้าของลำดับและเน็ตในกรณีที่สัญชาตญาณเมตริกไม่สามารถใช้ได้

Core questions

• ทอพอโลยีเดียวกันสามารถเกิดขึ้นจากฐานที่แตกต่างกันได้อย่างไร และเราจะเปรียบเทียบทอพอโลยีโดยความละเอียดได้อย่างไร?
• ความต่อเนื่องหมายถึงอะไรเมื่อไม่มีเมตริก และมีลักษณะเฉพาะอย่างไรผ่านการปิดล้อมและบริเวณใกล้เคียง?
• ปริภูมิสองปริภูมิเป็นโฮมีโอมอร์ฟิกกันเมื่อใด และคุณสมบัติใดที่ใช้เป็นตัวแปรเพื่อแยกแยะความแตกต่าง?
• การสร้างปริภูมิย่อย, ผลคูณ และผลหารสืบทอดหรือล้มเหลวในการสืบทอดคุณสมบัติของทอพอโลยีแม่ได้อย่างไร?

Key concepts

• เซตเปิด, เซตปิด, บริเวณใกล้เคียง, การปิดล้อม และภายใน
• ฐานและฐานย่อยที่สร้างทอพอโลยี
• ความต่อเนื่อง, โฮมีโอมอร์ฟิซึม และตัวแปรเชิงทอพอโลยี
• ทอพอโลยีปริภูมิย่อย, ผลคูณ และผลหาร
• การลู่เข้าผ่านลำดับและเน็ต; บทบาทของการนับได้ครั้งแรก

Clinical relevance

คำนิยามเหล่านี้เป็นจุดเริ่มต้นของโครงสร้างต่อมาทั้งหมดในเรขาคณิตและทอพอโลยี: แมนิโฟลด์คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบยุคลิดเฉพาะที่, โฮโมโทปีและโฮโมโลยีทำงานบนฟังก์ชันต่อเนื่อง, และการวิเคราะห์บนปริภูมิอาศัยแนวคิดของความต่อเนื่องนี้

History

คำนิยามเซตเปิดได้ขยายแนวคิดของปริภูมิเมตริกของ Fréchet (ค.ศ. 1906) และสัจพจน์บริเวณใกล้เคียงของ Hausdorff (ค.ศ. 1914); การกำหนดสูตรมาตรฐานในปัจจุบันในแง่ของการยูเนียนแบบใดก็ได้และการอินเตอร์เซกชันแบบจำกัดได้กลายเป็นบรรทัดฐานในตำราเรียนผ่าน Bourbaki และตำราอเมริกันช่วงกลางศตวรรษ

Key figures

• Felix Hausdorff
• Maurice Fréchet
• James Munkres

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่ต่อเนื่องทุกฟังก์ชันเป็นโฮมีโอมอร์ฟิซึมหรือไม่?

ไม่ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่ต่อเนื่องอาจไม่มีฟังก์ชันผกผันที่ต่อเนื่อง; โฮมีโอมอร์ฟิซึมยังต้องการให้ฟังก์ชันผกผันต่อเนื่องด้วย ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้มันเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

เหตุใดเน็ตจึงเป็นกรณีทั่วไปของลำดับในทอพอโลยี?

ในปริภูมิที่ไม่สามารถนับได้ครั้งแรก ลำดับไม่สามารถตรวจจับพฤติกรรมการปิดล้อมและความต่อเนื่องทั้งหมดได้; เน็ต (และฟิลเตอร์ที่เทียบเท่ากัน) จัดทำดัชนีการลู่เข้าเหนือเซตทิศทางแบบใดก็ได้และกู้คืนทฤษฎีทั้งหมด