รากฐานและสัจพจน์ของกลศาสตร์ควอนตัม

รากฐานของกลศาสตร์ควอนตัมระบุไว้ในรูปของสัจพจน์จำนวนน้อยชุดหนึ่งว่า ระบบทางฟิสิกส์ถูกอธิบายด้วยเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ต ปริมาณที่วัดได้สอดคล้องกับตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน และการวัดจะให้ค่าเฉพาะ (eigenvalues) ที่มีโอกาสเกิดขึ้นซึ่งกำหนดโดยสถานะ

Definition

สัจพจน์ของกลศาสตร์ควอนตัมคือข้อสมมติฐานพื้นฐานที่ระบุว่าสถานะทางกายภาพ ตัวสังเกตได้ การวัด และพลวัตถูกแทนด้วยคณิตศาสตร์อย่างไร ซึ่งเป็นที่มาของการทำนายทั้งหมดของทฤษฎีควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพ

Scope

ขอบเขตนี้ครอบคลุมโครงสร้างเชิงสัจพจน์ของทฤษฎีควอนตัม: การแทนสถานะด้วยรังสีในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ตัวสังเกตได้ (observables) ในรูปของตัวดำเนินการแบบ self-adjoint กฎของบอร์นที่เชื่อมโยงแอมพลิจูดกับความน่าจะเป็น วิวัฒนาการของเวลาแบบเอกภาพ การยุบตัวของสถานะเมื่อมีการวัด และภาษาแบบ bra-ket ที่แสดงแนวคิดเหล่านี้ได้อย่างกระชับ

Sub-topics

• สัญกรณ์บรา-เคตของดิแรก
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตและสถานะควอนตัม
• ปริมาณที่สังเกตได้และการวัดเชิงควอนตัม
• สัจพจน์ของกลศาสตร์ควอนตัม

Core questions

• วัตถุทางคณิตศาสตร์ใดที่ใช้แทนสถานะของระบบควอนตัม?
• ปริมาณทางกายภาพที่วัดได้ถูกเข้ารหัสเป็นตัวดำเนินการอย่างไร?
• กฎใดที่เชื่อมโยงสถานะควอนตัมกับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์การวัด?
• สถานะมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร และเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อมีการวัด?

Key concepts

• ปริภูมิฮิลเบิร์ต
• หลักการซ้อนทับ
• ตัวสังเกตได้แบบเฮอร์มิเชียน
• กฎของบอร์น
• การยุบตัวของฟังก์ชันคลื่น
• วิวัฒนาการของเวลาแบบเอกภาพ

Key theories

สัจพจน์เวกเตอร์สถานะ

สถานะที่สมบูรณ์ของระบบควอนตัมที่แยกตัวออกมาจะถูกแทนด้วยเวกเตอร์หน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งกำหนดได้เพียงแค่เฟสโดยรวมเท่านั้น ดังนั้นการซ้อนทับของสถานะจึงเป็นสถานะที่ถูกต้องด้วยตัวมันเอง

สัจพจน์ตัวสังเกตได้และการวัด

ปริมาณที่วัดได้แต่ละอย่างสอดคล้องกับตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนซึ่งมีค่าเฉพาะเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ กฎของบอร์นให้ความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์เป็นขนาดกำลังสองของการฉายภาพของสถานะลงบนเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน หลังจากนั้นสถานะจะยุบตัวลงสู่เวกเตอร์เฉพาะนั้น

สัจพจน์วิวัฒนาการแบบเอกภาพ

ระหว่างการวัด สถานะจะวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่องและเป็นไปตามที่กำหนดโดยการแปลงแบบเอกภาพที่สร้างขึ้นโดยฮามิลโทเนียน ซึ่งรักษาความน่าจะเป็นรวมไว้ ซึ่งเป็นเนื้อหาของสมการชโรดิงเงอร์ในรูปแบบตัวดำเนินการนามธรรม

Clinical relevance

สัจพจน์เหล่านี้เป็นกฎการทำงานเบื้องหลังการทำนายควอนตัมทุกอย่าง ตั้งแต่สเปกตรัมอะตอมและพันธะเคมี ไปจนถึงเลเซอร์ สารกึ่งตัวนำ และการประมวลผลข้อมูลควอนตัม โครงสร้างเชิงความน่าจะเป็นและซ้อนทับกันของมันคือสิ่งที่ทำให้เทคโนโลยีควอนตัมแตกต่างจากวิศวกรรมคลาสสิก

History

กรอบแนวคิดนี้ตกผลึกระหว่างปี 1925 ถึง 1932 เมื่อกลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์กและกลศาสตร์คลื่นของชโรดิงเงอร์ได้รับการพิสูจน์ว่าสมมูลกัน บอร์นตีความฟังก์ชันคลื่นว่าเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ดิแรกได้รวมรูปแบบเข้าด้วยกันในทฤษฎีการแปลง และฟอน นอยมันน์ได้วางรากฐานที่เข้มงวดด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ต

Debates

ปัญหาการวัด

สัจพจน์จับคู่การวิวัฒนาการแบบเอกภาพที่ราบรื่นกับการยุบตัวที่ไม่เป็นเอกภาพอย่างกะทันหันเมื่อมีการวัด และไม่ได้ระบุว่าอะไรคือการวัดทางกายภาพอย่างแท้จริง การตีความตั้งแต่โคเปนเฮเกนไปจนถึงแบบหลายโลกและแบบจำลองการยุบตัวเชิงวัตถุประสงค์ไม่เห็นด้วยกับวิธีการ หรือไม่ว่าการยุบตัวจะเกิดขึ้นหรือไม่

Key figures

• Paul Dirac
• John von Neumann
• Werner Heisenberg
• Erwin Schrodinger
• Max Born

Seminal works

• dirac1981
• vonneumann1955

Frequently asked questions

ทำไมสถานะควอนตัมจึงต้องอยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตแทนที่จะเป็นปริภูมิปกติ?

ปริภูมิฮิลเบิร์ตให้ผลคูณภายในที่จำเป็นสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นและโครงสร้างเชิงเส้นที่จำเป็นสำหรับการซ้อนทับ เวกเตอร์ของมันเข้ารหัสแอมพลิจูดสำหรับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด แทนที่จะเป็นตำแหน่งเดียว ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้เกิดการแทรกสอดและการพัวพัน

สัจพจน์เหล่านี้ได้มาจากหลักการที่ลึกซึ้งกว่าหรือไม่?

ในกลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐาน สัจพจน์เหล่านี้ถือเป็นสัจพจน์ที่ได้รับการพิสูจน์โดยความสำเร็จในการทำนาย โครงการสร้างใหม่ต่างๆ พยายามที่จะได้มาซึ่งสัจพจน์เหล่านี้จากข้อสมมติฐานเชิงข้อมูลหรือเชิงปฏิบัติการ แต่ยังไม่มีการได้มาซึ่งสัจพจน์ใดที่ได้รับการยอมรับอย่างเป็นสากล