ส่วนขยายเชิงปริพันธ์

ส่วนขยายเชิงปริพันธ์ (integral extension) คือส่วนขยายริง (ring extension) ที่ทุกสมาชิกสอดคล้องกับพหุนามโมนิก (monic polynomial) เหนือซับริง (subring) ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของส่วนขยายฟิลด์เชิงพีชคณิต (algebraic field extensions) และควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างไพรม์ไอดีล (prime ideals) ของริงทั้งสอง

Definition

สมาชิกของส่วนขยายริงจะเป็นเชิงปริพันธ์เหนือซับริง หากเป็นรากของพหุนามโมนิกที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในซับริง ส่วนขยายจะเป็นเชิงปริพันธ์เมื่อทุกสมาชิกเป็นเชิงปริพันธ์ และการปิดเชิงปริพันธ์คือเซตของสมาชิกดังกล่าวทั้งหมด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงสมาชิกเชิงปริพันธ์ (integral elements) และการขึ้นต่อกันเชิงปริพันธ์ (integral dependence), การปิดเชิงปริพันธ์ (integral closure) ของริงในส่วนขยายและริงปรกติ (normal rings), ทฤษฎีบท lying-over, going-up และ going-down, และ Noether normalization ซึ่งเป็นผลลัพธ์เชิงโครงสร้างที่เป็นรากฐานของทฤษฎีมิติ (dimension theory)

Core questions

• การที่สมาชิกริงหนึ่งเป็นเชิงปริพันธ์เหนือซับริงหมายความว่าอย่างไร?
• การปิดเชิงปริพันธ์คืออะไร และเมื่อใดที่ริงจะเรียกว่าปรกติ?
• ไพรม์ไอดีลยกขึ้นและลงตามส่วนขยายเชิงปริพันธ์ได้อย่างไร?
• Noether normalization นำเสนอพีชคณิตในรูปส่วนขยายจำกัดของริงพหุนามได้อย่างไร?

Key theories

การปิดเชิงปริพันธ์และภาวะปรกติ

สมาชิกที่เป็นเชิงปริพันธ์เหนือซับริงจะรวมกันเป็นซับริง ซึ่งเรียกว่าการปิดเชิงปริพันธ์ และโดเมนที่เท่ากับการปิดเชิงปริพันธ์ของตัวเองในฟิลด์เศษส่วนของมันเรียกว่าปิดเชิงปริพันธ์ (integrally closed) หรือปรกติ (normal) ซึ่งเป็นเงื่อนไขสำคัญของความสม่ำเสมอ

ทฤษฎีบท Lying-over และ Going-up

สำหรับส่วนขยายเชิงปริพันธ์ ไพรม์ไอดีลทุกตัวของซับริงจะเป็นการหดตัวของไพรม์ไอดีลของส่วนขยาย (lying over) และสายโซ่ของไพรม์ไอดีลจะยกขึ้นเข้ากันได้ (going up) ดังนั้นสเปกตรัมไพรม์ (prime spectra) ของริงทั้งสองจึงเชื่อมโยงกันอย่างแน่นหนา

Noether normalization

พีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกตัวเหนือฟิลด์จะเป็นโมดูลจำกัด (finite module) ซึ่งเป็นเชิงปริพันธ์ เหนือซับริงพหุนามในสมาชิกที่เป็นอิสระเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นหัวใจเชิงพีชคณิตของทฤษฎีมิติและเรขาคณิตของวาไรตี้เชิงอัฟฟิน (affine varieties)

Clinical relevance

ส่วนขยายเชิงปริพันธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number theory) ซึ่งริงของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน (number field) คือการปิดเชิงปริพันธ์ของจำนวนเต็ม และในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ซึ่ง Noether normalization และทฤษฎีบท going-up เป็นรากฐานของทฤษฎีมิติและพฤติกรรมของมอร์ฟิซึมจำกัด (finite morphisms) ระหว่างวาไรตี้ (varieties)

History

การขึ้นต่อกันเชิงปริพันธ์เป็นการสรุปแนวคิดของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต (algebraic integers) ในทฤษฎีจำนวนที่ศึกษาโดย Dedekind เลมมาการทำให้เป็นปรกติของ Emmy Noether (Noether's normalization lemma) และผลงานของ Krull ในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930 ทำให้ส่วนขยายเชิงปริพันธ์เป็นรากฐานของทฤษฎีมิติ ซึ่งต่อมาได้รับการตีความทางเรขาคณิตโดย Zariski และ Grothendieck

Key figures

• Emmy Noether
• Wolfgang Krull
• David Hilbert
• Oscar Zariski

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

ส่วนขยายเชิงปริพันธ์ขยายแนวคิดของส่วนขยายฟิลด์เชิงพีชคณิตได้อย่างไร?

เหนือฟิลด์ คำว่า 'เชิงปริพันธ์' และ 'เชิงพีชคณิต' มีความหมายเดียวกัน เนื่องจากพหุนามโมนิกและพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ทั่วไปแตกต่างกันเพียงแค่ตัวผกผัน (unit) เท่านั้น แต่เหนือริงทั่วไป เงื่อนไขโมนิกมีความสำคัญอย่างยิ่ง โดยจะจับสมาชิกที่มีพฤติกรรมคล้ายจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต

Noether normalization มีความสำคัญอย่างไร?

มันนำเสนอพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกตัวเหนือฟิลด์ในรูปส่วนขยายจำกัดของริงพหุนาม ดังนั้นมิติของมันจึงเท่ากับจำนวนตัวแปรพหุนาม สิ่งนี้เป็นรากฐานของทฤษฎีมิติทั้งหมดของวาไรตี้เชิงอัฟฟินในการสร้างที่จับต้องได้