ริงแบบเนอเทอร์ (Noetherian Ring)

ริงแบบเนอเทอร์คือริงที่ทุกอุดมคติ (ideal) สามารถสร้างขึ้นได้จากจำนวนจำกัด (finitely generated) หรือเทียบเท่าคืออุดมคติของริงนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขสายโซ่ขาขึ้น (ascending chain condition) ซึ่งเป็นสมมติฐานเกี่ยวกับภาวะจำกัดที่ทำให้นำทฤษฎีอุดมคติมาใช้ได้ง่ายขึ้น

Definition

ริงเชิงการสลับที่ (commutative ring) จะเป็นแบบเนอเทอร์ (Noetherian) หากสายโซ่ขาขึ้นของอุดมคติทุกสายมีความเสถียร (stabilizes) หรือเทียบเท่าคือหากทุกอุดมคติสามารถสร้างขึ้นได้จากจำนวนจำกัด หรือเทียบเท่าคือหากทุกคอลเลกชันของอุดมคติที่ไม่ว่างเปล่ามีสมาชิกสูงสุด (maximal element)

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงรูปแบบที่เทียบเท่ากันของเงื่อนไขเนอเทอร์ ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต (Hilbert basis theorem) มอดูลแบบเนอเทอร์ (Noetherian modules) การคงอยู่ของคุณสมบัติภายใต้ผลหาร (quotients) การแปลเป็นภาษาท้องถิ่น (localization) และการสร้างจากจำนวนจำกัด (finite generation) รวมถึงบทบาทของมันในฐานะสมมติฐานหลักของพีชคณิตเชิงการสลับที่ (commutative algebra) และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry)

Core questions

• เงื่อนไขใดบ้างที่เทียบเท่ากันในการนิยามริงแบบเนอเทอร์?
• เหตุใดทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตจึงทำให้ริงพหุนามยังคงเป็นแบบเนอเทอร์?
• คุณสมบัติเนอเทอร์ส่งผ่านไปยังผลหาร การแปลเป็นภาษาท้องถิ่น และพีชคณิตที่สร้างจากจำนวนจำกัดได้อย่างไร?
• เหตุใดสมมติฐานเนอเทอร์จึงพบได้ทั่วไปในพีชคณิตเชิงการสลับที่เกือบทั้งหมด?

Key theories

รูปแบบที่เทียบเท่ากัน

เงื่อนไขสายโซ่ขาขึ้นบนอุดมคติ การสร้างจากจำนวนจำกัดของทุกอุดมคติ และเงื่อนไขสมาชิกสูงสุดบนตระกูลของอุดมคติ ล้วนเทียบเท่ากัน ซึ่งให้คำนิยามที่สามารถใช้แทนกันได้หลายแบบสำหรับริงแบบเนอเทอร์

ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต

หากริงเป็นแบบเนอเทอร์ ริงพหุนามเหนือริงนั้นในตัวแปรจำนวนจำกัดก็จะเป็นแบบเนอเทอร์ด้วย ดังนั้นพีชคณิตที่สร้างจากจำนวนจำกัดเหนือฟิลด์และเหนือจำนวนเต็มจึงเป็นแบบเนอเทอร์

ความเสถียรของคุณสมบัติ

ผลหารและการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นของริงแบบเนอเทอร์เป็นแบบเนอเทอร์ และมอดูลที่สร้างจากจำนวนจำกัดเหนือริงแบบเนอเทอร์ก็เป็นแบบเนอเทอร์ ดังนั้นคลาสนี้จึงปิดภายใต้การสร้างมาตรฐานของพีชคณิตเชิงการสลับที่

Clinical relevance

เงื่อนไขเนอเทอร์เป็นสมมติฐานเกี่ยวกับภาวะจำกัดที่เป็นพื้นฐานของพีชคณิตเชิงการสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเกือบทั้งหมด: มันรับประกันว่าการแยกตัวประกอบปฐมภูมิ (primary decomposition) มีอยู่จริง ว่าวาไรตี (varieties) ถูกกำหนดโดยสมการจำนวนจำกัด และว่าการสร้างที่สำคัญจะสิ้นสุดลง ดังนั้นริงที่เกิดขึ้นในเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวนจึงมักจะเป็นแบบเนอเทอร์เสมอ

History

เดวิด ฮิลเบิร์ต (David Hilbert) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทฐานของเขาในปี 1890 ในบริบทของทฤษฎีอินแวเรียนท์ (invariant theory) แต่เงื่อนไขสายโซ่ขาขึ้นเชิงนามธรรมและทฤษฎีที่เป็นระบบของริงแบบเนอเทอร์นั้นมาจากเอ็มมี เนอเทอร์ (Emmy Noether) ในช่วงทศวรรษ 1920 ซึ่งเป็นที่มาของชื่อแนวคิดนี้

Key figures

• Emmy Noether
• David Hilbert
• Emanuel Lasker

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

เหตุใดการสร้างจากจำนวนจำกัดของอุดมคติจึงเป็นสมมติฐานที่มีประโยชน์มาก?

มันช่วยให้มั่นใจได้ว่าอุดมคติ และด้วยเหตุนี้เซตเชิงพีชคณิตที่พวกมันนิยาม จะถูกอธิบายด้วยข้อมูลจำนวนจำกัด ว่าสายโซ่ขาขึ้นของอุดมคติไม่สามารถดำเนินต่อไปได้ตลอดไป และว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัยจะสิ้นสุดลง นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการแยกตัวประกอบปฐมภูมิและทฤษฎีมิติ

ริงส่วนใหญ่ที่พบในการปฏิบัติเป็นแบบเนอเทอร์หรือไม่?

ใช่ ฟิลด์ (fields) โดเมนอุดมคติหลัก (principal-ideal domains) ริงของจำนวนเต็ม (rings of integers) และพีชคณิตที่สร้างจากจำนวนจำกัดใดๆ เหนือสิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นแบบเนอเทอร์ตามทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต ริงที่ไม่ใช่แบบเนอเทอร์มีอยู่จริง แต่ค่อนข้างแปลกในเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวน