ฟิลด์จำนวนและริงของจำนวนเต็ม

ฟิลด์จำนวนคือส่วนขยายจำกัดของจำนวนตรรกยะ และริงของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนนั้นเป็นอนาล็อกทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติของจำนวนเต็มสามัญ ซึ่งเป็นโดเมนเดเดคินด์ที่อุดมคติ ไม่ใช่สมาชิก ที่แยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกัน

Definition

ฟิลด์จำนวนคือส่วนขยายฟิลด์ที่มีดีกรีจำกัดของจำนวนตรรกยะ ริงของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นรากของพหุนามเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งก่อให้เกิดโดเมนเดเดคินด์

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงจำนวนเชิงพีชคณิตและจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต, ฟิลด์จำนวนและดีกรีและการฝังตัวของฟิลด์จำนวน, ริงของจำนวนเต็มในฐานะที่เป็นส่วนปิดเชิงจำนวนเต็มของจำนวนเต็มในฟิลด์, ฐานเชิงจำนวนเต็มและดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์, การจำแนกลักษณะของริงของจำนวนเต็มในฐานะโดเมนเดเดคินด์, และการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ออกเป็นอุดมคติเฉพาะ

Core questions

• สมาชิกใดบ้างของฟิลด์จำนวนที่นับเป็นจำนวนเต็ม และเหตุใดจึงก่อให้เกิดริง?
• ฐานเชิงจำนวนเต็มคืออะไร และดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์จำนวนถูกนิยามและคำนวณอย่างไร?
• คุณสมบัติใดบ้างที่ทำให้ริงของจำนวนเต็มเป็นโดเมนเดเดคินด์?
• การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของอุดมคติเข้ามาแทนที่การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของสมาชิกได้อย่างไร?

Key theories

ริงของจำนวนเต็มและส่วนปิดเชิงจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตในฟิลด์จำนวนก่อให้เกิดริงของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นส่วนปิดเชิงจำนวนเต็มของจำนวนเต็มในฟิลด์ โดยเป็นมอดูลอิสระที่มีอันดับเท่ากับดีกรีของฟิลด์ พร้อมด้วยฐานเชิงจำนวนเต็ม

โดเมนเดเดคินด์และการแยกตัวประกอบของอุดมคติ

ริงของจำนวนเต็มเป็น Noetherian, integrally closed, มีมิติหนึ่ง — นั่นคือ โดเมนเดเดคินด์ — และในโดเมนเดเดคินด์ใดๆ อุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกอันจะแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นอุดมคติเฉพาะ

ดิสคริมิแนนต์

ดิสคริมิแนนต์ของฐานเชิงจำนวนเต็มเป็นค่าคงที่เชิงจำนวนเต็มของฟิลด์ที่ตรวจจับจำนวนเฉพาะที่แตกแขนง (ramified primes) และจำกัดฟิลด์ผ่านขอบเขตของมิงคอฟสกี (Minkowski's bound) และทฤษฎีบทจำกัดของแอร์มิต (Hermite's finiteness theorem)

Clinical relevance

ริงของจำนวนเต็มและโครงสร้างอุดมคติของริงเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบแบบตะแกรงฟิลด์จำนวน (number field sieve factorization algorithm) และสำหรับการเข้ารหัสแบบโครงข่ายอุดมคติ (ideal-lattice cryptography) ซึ่งการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของริงจำนวนเต็มเป็นแหล่งที่มาของทั้งปัญหาที่ยากและการดำเนินการที่มีประสิทธิภาพ

History

คุมเมอร์ได้ทำงานเกี่ยวกับจำนวนเต็มไซโคลโทมิกและจำนวนอุดมคติในช่วงทศวรรษ 1840 เดเดคินด์ ในส่วนเสริมของบทบรรยายของดิริชเลต์ตั้งแต่ทศวรรษ 1870 ได้นิยามริงของจำนวนเต็มและแนวคิดสมัยใหม่ของอุดมคติ โดยพิสูจน์การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของอุดมคติและก่อตั้งทฤษฎีเชิงนามธรรมขึ้น

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

ริงของจำนวนเต็มเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเสมอไปหรือไม่?

ไม่จำเป็น สมาชิกอาจไม่แยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันเสมอไป แต่ริงจะเป็นโดเมนเดเดคินด์เสมอ ดังนั้นอุดมคติจึงแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกัน ริงจะเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อเลขชั้น (class number) ของริงเป็นหนึ่งเท่านั้น

ดิสคริมิแนนต์บอกอะไรเราได้บ้าง?

ดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์เป็นค่าคงที่เชิงจำนวนเต็มที่ตัวหารเฉพาะของมันคือจำนวนเฉพาะที่แตกแขนงในฟิลด์ และขนาดของมันจะจำกัดความซับซ้อนของฟิลด์