ทฤษฎีริง
ทฤษฎีริงศึกษาเซตที่ประกอบด้วยการดำเนินการบวกและการคูณที่เข้ากันได้ ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของการคำนวณเลขจำนวนเต็มและพหุนาม และเป็นรากฐานเชิงโครงสร้างสำหรับพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่
Definition
ริงคือเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคสองแบบ ได้แก่ การบวก (ทำให้เป็นกลุ่มอาบีเลียน) และการคูณ (มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและสมบัติการแจกแจงเหนือการบวก) โดยทั่วไปจะมีเอกลักษณ์การคูณ. ทฤษฎีริงศึกษาโครงสร้างเหล่านี้, ไอดีลของโครงสร้างเหล่านี้, และการส่งระหว่างโครงสร้างเหล่านี้
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมถึงริง, ซับริง, และไอดีล; ริงผลหารและทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม; โฮโมมอร์ฟิซึมของริง; โดเมนเชิงจำนวนเต็ม, ฟิลด์ของเศษส่วน, และการแยกตัวประกอบเฉพาะ; ริงพหุนามและริงแบบยุคลิด, ริงไอดีลหลัก, และริงแบบเนอเทอร์. ครอบคลุมทั้งทฤษฎีแบบสลับที่และไม่สลับที่ในระดับของรายวิชาพีชคณิตระดับบัณฑิตศึกษา
Sub-topics
Core questions
- ไอดีลของริงควบคุมโครงสร้างผลหารและภาพโฮโมมอร์ฟิกของริงได้อย่างไร?
- ภายใต้เงื่อนไขใดที่ริงยอมรับการแยกตัวประกอบเฉพาะเป็นสมาชิกที่ไม่สามารถลดทอนได้?
- คุณสมบัติของริงถ่ายทอดไปยังริงพหุนามและริงของเศษส่วนเหนือริงนั้นได้อย่างไร?
- สมมติฐานเชิงโครงสร้างใด (แบบเนอเทอร์, ไอดีลหลัก, แบบยุคลิด) ที่ให้การคำนวณที่จัดการได้?
Key theories
- ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับริง
- โฮโมมอร์ฟิซึมของริงสามารถแยกตัวประกอบผ่านผลหารโดยเคอร์เนลของมัน และความสอดคล้องกันที่เกิดขึ้นระหว่างไอดีลและริงผลหารนั้นคล้ายคลึงกับทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมทางทฤษฎีกลุ่ม
- ลำดับชั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะ
- โดเมนแบบยุคลิดเป็นโดเมนไอดีลหลัก ซึ่งเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ; ลำดับของนัยยะนี้จัดระเบียบการคำนวณของโดเมนเชิงจำนวนเต็มและอธิบายว่าเมื่อใดที่การแยกตัวประกอบเป็นสมาชิกที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นเป็นเอกลักษณ์โดยพื้นฐาน
- ทฤษฎีบทฐานของ Hilbert
- หากริงเป็นแบบเนอเทอร์ ริงพหุนามเหนือริงนั้นในตัวแปรจำกัดจำนวนก็จะเป็นแบบเนอเทอร์ด้วย ซึ่งรับรองว่าพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือฟิลด์มีทฤษฎีไอดีลที่มีพฤติกรรมดี
Clinical relevance
ทฤษฎีริงเป็นพื้นฐานทางพีชคณิตสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (ริงพิกัดของวาไรตี), ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (ริงของจำนวนเต็ม), ทฤษฎีการเข้ารหัสและวิทยาการเข้ารหัสลับ (ริงพหุนามและริงผลหาร), และระบบพีชคณิตเชิงคอมพิวเตอร์ที่จัดการพหุนามเชิงสัญลักษณ์
History
ทฤษฎีริงพัฒนามาจากแนวคิดไอดีลของ Dedekind ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและทฤษฎีอินแวเรียนต์ของ Hilbert และถูกสรุปเป็นสาขาวิชาเชิงโครงสร้างโดย Emmy Noether ในทศวรรษ 1920 ซึ่งเงื่อนไขลูกโซ่ขึ้นของเธอได้ปรับเปลี่ยนเนื้อหาของวิชานี้. Artin และคนอื่นๆ ได้ขยายทฤษฎีโครงสร้างไปยังบริบทที่ไม่สลับที่
Key figures
- Richard Dedekind
- David Hilbert
- Emmy Noether
- Wolfgang Krull
- Emil Artin
Related topics
Seminal works
- lang2002
- dummit2004
- atiyah1969
Frequently asked questions
- ความแตกต่างระหว่างไอดีลกับซับริงคืออะไร?
- ซับริงจะปิดภายใต้การดำเนินการของริง ในขณะที่ไอดีลจะดูดซับเพิ่มเติมภายใต้การคูณด้วยสมาชิกใดๆ ของริง. ไอดีล ไม่ใช่ซับริงโดยพลการ เป็นเคอร์เนลของการส่งแบบโฮโมมอร์ฟิซึมของริงและเป็นวัตถุที่คุณสามารถนำมาหารได้
- ทำไมริงพหุนามจึงมีความสำคัญมาก?
- ริงพหุนามเป็นพีชคณิตสลับที่อิสระ: พวกมันจำลองการเพิ่มตัวไม่กำหนด, ไอดีลของพวกมันสอดคล้องกับระบบสมการพหุนาม, และทฤษฎีบทฐานของ Hilbert ทำให้ทฤษฎีไอดีลของพวกมันสามารถควบคุมได้ในจำนวนจำกัด ซึ่งเป็นประตูสู่เรขาคณิตเชิงพีชคณิต