Моменты остановки и теорема об опциональной остановке

Момент остановки — это случайный момент времени, наступление которого распознаваемо на основе имеющейся информации, а теорема об опциональной остановке утверждает, что честная игра, остановленная в такой момент, остается честной, что является принципом удивительной широты применения.

Definition

Момент остановки — это случайный момент времени, в который решение об остановке зависит только от информации, доступной до этого момента, а теорема об опциональной остановке утверждает, что при подходящих условиях математическое ожидание мартингала, оцененное в момент остановки, равно его начальному математическому ожиданию.

Scope

Тема охватывает определение момента остановки относительно фильтрации и сигма-алгебры событий, известных к моменту остановки, остановленного процесса, теоремы об опциональной остановке и опциональной выборке с требуемыми ими условиями интегрируемости и ограниченности, тождества Вальда для сумм, остановленных в случайный момент времени, а также приложения к разорению игрока, вероятностям достижения и ожидаемым временам достижения.

Core questions

• Что делает случайное время моментом остановки и почему это различие важно?
• При каких условиях остановка мартингала сохраняет его математическое ожидание?
• Почему теорема об опциональной остановке может не выполняться без предположений об интегрируемости или ограниченности?
• Как моменты остановки позволяют получить вероятности достижения и ожидаемые продолжительности?

Key concepts

• момент остановки
• остановленный процесс
• опциональная выборка
• тождества Вальда
• разорение игрока

Key theories

Теорема об опциональной остановке

Если момент остановки ограничен, или остановленный мартингал равномерно интегрируем, или время имеет конечное среднее значение с ограниченными приращениями, то математическое ожидание мартингала в момент остановки равно его начальному значению, что точно отражает смысл того, что честную игру нельзя использовать в своих интересах с помощью хитрых правил выхода.

Тождества Вальда

Для суммы независимых одинаково распределенных переменных, остановленной в момент остановки с конечным средним значением, ожидаемая сумма равна среднему значению, умноженному на ожидаемое время остановки, и соответствующее тождество справедливо для дисперсии; эти результаты получены с помощью опциональной остановки мартингалов.

Clinical relevance

Опциональная остановка является аналитическим инструментом для вычисления вероятностей разорения и ожидаемого времени игры в азартных играх и страховании, для вероятностей ошибок и ожидаемых объемов выборки в последовательном критерии отношения вероятностей Вальда, а также для расчетов первого прохождения в очередях, надежности и ценообразовании американских финансовых опционов.

History

Дуб сформулировал теоремы об опциональной выборке для мартингалов, а Вальд, работая над последовательным анализом в 1940-х годах, вывел тождества для случайно остановленных сумм, которые позднее были объединены и объяснены в рамках мартингалов.

Key figures

• Joseph L. Doob
• Abraham Wald
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

Почему момент остановки должен быть распознаваем по прошлой информации?

Если бы можно было останавливаться, основываясь на будущем, можно было бы прекращать честную игру именно в благоприятные моменты и систематически выигрывать; требование, чтобы решение об остановке использовало только информацию до текущего момента, именно то, что обеспечивает честность опциональной остановки.

Когда теорема об опциональной остановке не выполняется?

Она может не выполняться, когда момент остановки неограничен, а мартингал не является равномерно интегрируемым, как, например, в неограниченном простом случайном блуждании, где остановка при первом достижении положительного уровня дает математическое ожидание, отличное от начального.