Теорема Радона-Никодима и произведения мер

Эти результаты сравнивают и объединяют меры: теорема Радона-Никодима представляет одну меру как плотность, умноженную на другую, в то время как произведения мер и теорема Фубини превращают интегрирование по нескольким переменным в итерационный процесс.

Definition

Теорема Радона-Никодима утверждает, что мера, абсолютно непрерывная относительно сигма-конечной меры, равна интегралу от плотности по этой мере; произведение мер расширяет меры на фактор-пространствах до их произведения таким образом, что многомерное интегрирование может быть выполнено по одной переменной за раз.

Scope

Эта тема охватывает знаковые и комплексные меры с разложениями Хана и Жордана, абсолютную непрерывность и взаимную сингулярность, разложение Лебега, теорему Радона-Никодима и её производную, построение произведений мер, а также теоремы Фубини и Тонелли для изменения порядка итерированных интегралов.

Core questions

• Как одна мера разлагается относительно другой на абсолютно непрерывную и сингулярную части?
• Когда мера имеет плотность относительно другой, и что это за плотность?
• Как строится мера на произведении пространств из мер на факторах?
• Когда можно менять порядок итерированного интеграла?

Key theories

Теорема Радона-Никодима

Если мера абсолютно непрерывна относительно сигма-конечной меры, она является интегралом от уникальной функции плотности, производной Радона-Никодима, которая является строгим основанием для плотностей вероятности и условного математического ожидания.

Теорема Фубини-Тонелли

При условии сигма-конечности интеграл по произведению пространств равен любому из итерированных интегралов, причём форма Тонелли применяется для неотрицательных функций, а форма Фубини — для интегрируемых, что обосновывает изменение порядка интегрирования.

Clinical relevance

Производная Радона-Никодима является функцией плотности вероятности и отношением правдоподобия в статистике, а также строгим основанием условного математического ожидания в теории вероятностей, в то время как произведения мер и теорема Фубини лежат в основе рассмотрения совместных распределений, независимости и многомерных интегралов в физике и прикладной математике.

History

Радон доказал теорему о плотности для евклидова пространства в 1913 году, а Никодим распространил её на абстрактные меры в 1930 году. Теорема Фубини об итерированном интегрировании датируется 1907 годом и была дополнена неотрицательной версией Тонелли в 1909 году, завершив теорию произведения интегралов.

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

Что такое производная Радона-Никодима?

Это функция плотности, которая выражает одну меру как интеграл по другой, когда первая абсолютно непрерывна относительно второй; в теории вероятностей это именно функция плотности вероятности.

Когда можно менять порядок двойного интеграла?

Теорема Тонелли допускает это для неотрицательных измеримых функций на сигма-конечных пространствах, а теорема Фубини допускает это всякий раз, когда функция интегрируема по произведению; вместе они охватывают случаи, встречающиеся на практике.