Soluções da Equação de Schrödinger Independente do Tempo

Encontrar os níveis de energia e as funções de onda estacionárias de uma partícula quântica em um potencial é a primeira tarefa da mecânica quântica computacional, resolvida tanto por integração da função de onda quanto pela diagonalização de um Hamiltoniano discretizado.

Definition

A equação de Schrödinger independente do tempo é uma equação de autovalores cujas soluções são os estados estacionários e os níveis de energia de um sistema quântico; resolvê-la numericamente significa encontrar esses autovalores e autofunções para um dado potencial.

Scope

Este tópico abrange a solução numérica da equação de Schrödinger estacionária em uma e poucas dimensões: o método de tiro e casamento com busca de autovalores, o método de integração de Numerov e métodos matriciais que discretizam o Hamiltoniano em uma grade ou em uma base. Ele trata de estados ligados e, brevemente, de estados de espalhamento.

Core questions

• Como o método de tiro encontra autovalores de energia ao impor condições de contorno?
• Por que o método de Numerov é adequado para integrar a equação de Schrödinger?
• Como a discretização do Hamiltoniano transforma o problema em diagonalização de matriz?
• Como os estados ligados discretos são distinguidos do contínuo?

Key theories

Método de tiro e casamento

A função de onda é integrada das fronteiras para dentro para uma energia de teste, e a energia é ajustada até que as soluções de entrada e saída se encaixem suavemente, o que seleciona os autovalores permitidos.

Integração de Numerov

O método de Numerov explora a estrutura especial da equação de Schrödinger, sem termo de primeira derivada, para alcançar alta precisão de ordem a baixo custo ao integrar a função de onda.

Diagonalização matricial do Hamiltoniano

A representação do Hamiltoniano em uma grade ou em uma base finita produz uma matriz cujos autovalores são os níveis de energia e cujos autovetores são as funções de onda discretizadas, encontradas por solucionadores de autovalores padrão.

Clinical relevance

A resolução da equação de Schrödinger estacionária fornece os níveis de energia atômicos e moleculares, os espectros de poços quânticos e nanoestruturas, e os orbitais de partícula única que alimentam os cálculos de estrutura eletrônica.

History

A integração numérica da equação de Schrödinger seguiu logo após sua formulação em 1926, com o método de Numerov, originalmente concebido para a mecânica celeste, tornando-se um pilar; o crescimento dos computadores tornou a diagonalização completa do Hamiltoniano a alternativa rotineira.

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

Quando o método de tiro deve ser usado em vez da diagonalização de matriz?

O método de tiro é natural e preciso para problemas unidimensionais ou radiais onde um único autovalor é procurado por vez. A diagonalização de matriz é mais conveniente quando muitos níveis são necessários de uma vez ou em dimensões superiores onde o método de tiro se torna complicado.

Por que o método de Numerov é preferido para esta equação?

A equação de Schrödinger não possui um termo de primeira derivada, o que o esquema de Numerov é especificamente projetado para explorar, proporcionando precisão de quarta ordem com pouco trabalho extra em comparação com um integrador básico.