Partícula em uma Caixa e Poços de Potencial

A partícula em uma caixa e o poço de potencial quadrado são os sistemas quânticos mais simples exatamente solúveis: confinar uma partícula força sua energia a níveis discretos e sua função de onda a padrões de ondas estacionárias, ilustrando a quantização em sua forma mais pura.

Definition

A partícula em uma caixa é um modelo de uma partícula quântica confinada a uma região por um potencial de profundidade infinita ou finita, cujos estados estacionários são ondas estacionárias com energias quantizadas fixadas pelas condições de contorno.

Scope

O tópico abrange o poço quadrado infinito com seus níveis de energia exatos e ondas estacionárias sinusoidais, o poço quadrado finito com seu número limitado de estados ligados e vazamento exponencial em regiões classicamente proibidas, condições de correspondência na função de onda e sua derivada nas fronteiras, energia de ponto zero e a extensão para caixas bidimensionais e tridimensionais com degenerescências.

Core questions

• Por que confinar uma partícula produz níveis de energia discretos?
• Que condições de contorno a função de onda deve satisfazer nas paredes de um poço?
• Por que um poço finito suporta apenas um número limitado de estados ligados?
• O que é energia de ponto zero e por que ela não pode ser removida?

Key concepts

• poço quadrado infinito
• poço quadrado finito
• onda estacionária
• condições de contorno
• energia de ponto zero
• degenerescência

Key theories

Poço quadrado infinito

Uma partícula confinada entre paredes impenetráveis tem funções de onda que se anulam nas paredes, forçando ondas estacionárias com um número inteiro de meios comprimentos de onda e energias que crescem como o quadrado desse inteiro, o exemplo mais claro de quantização.

Poço quadrado finito

Quando as paredes têm altura finita, a função de onda vaza exponencialmente para a região proibida e o poço suporta apenas um número finito de estados ligados determinados por uma condição de correspondência transcendental, com pelo menos um estado ligado sempre presente em uma dimensão.

Clinical relevance

O modelo da caixa é a base da nanociência: poços quânticos, fios e pontos em semicondutores comportam-se como partículas em caixas projetadas, com seus níveis discretos ajustando as cores de displays de pontos quânticos e a operação de lasers e detectores de poços quânticos.

History

O modelo de partícula confinada surgiu imediatamente após a equação de Schrodinger de 1926 como a ilustração mais simples da quantização; tornou-se central novamente no final do século XX, quando a epitaxia por feixe molecular tornou possível fabricar poços quânticos semicondutores reais que correspondiam à idealização dos livros didáticos.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Arnold Sommerfeld
• Lev Landau

Seminal works

• griffiths2018
• cohentannoudji2019

Frequently asked questions

Por que a energia mais baixa em uma caixa tem que ser maior que zero?

Confinar uma partícula a uma região finita força sua função de onda a curvar-se e lhe confere uma dispersão de momento não nula pelo princípio da incerteza, de modo que a energia cinética não pode se anular; esse mínimo irredutível é a energia de ponto zero.

Como um poço finito difere de um poço infinito?

Um poço infinito tem infinitos estados ligados e funções de onda que se anulam estritamente nas paredes, enquanto um poço finito suporta apenas um número finito de estados ligados cujas funções de onda se estendem por uma curta distância na região classicamente proibida.