Variáveis Aleatórias e Funções de Distribuição

Uma variável aleatória é um mapeamento mensurável de um espaço de probabilidade para a reta real, e sua função de distribuição, a probabilidade de que a variável não exceda um dado nível, é a maneira universal de descrever como seus valores são distribuídos.

Definition

Uma variável aleatória é uma função mensurável de um espaço de probabilidade para os números reais, e sua função de distribuição mapeia cada número real para a probabilidade de que a variável assuma um valor menor ou igual a ele.

Scope

O tópico abrange a mensurabilidade de variáveis aleatórias com valores reais e vetoriais, a função de distribuição cumulativa e suas propriedades definidoras de monotonicidade, continuidade à direita e limites, a correspondência entre funções de distribuição e medidas de probabilidade na reta, densidades e a decomposição de Lebesgue em partes discretas, absolutamente contínuas e singulares, e distribuições conjuntas de vetores aleatórios com suas marginais.

Core questions

• O que significa para uma função em um espaço amostral ser uma variável aleatória?
• Quais propriedades caracterizam uma função de distribuição cumulativa e como ela determina a distribuição?
• Quando uma distribuição tem uma densidade e quais são as alternativas?
• Como as distribuições conjunta e marginal de várias variáveis aleatórias estão relacionadas?

Key concepts

• função mensurável
• função de distribuição cumulativa
• densidade de probabilidade
• decomposição de Lebesgue
• distribuições conjuntas e marginais

Key theories

Correspondência da função de distribuição

Toda medida de probabilidade na reta real corresponde a uma função de distribuição única não decrescente, contínua à direita, com limites zero e um, e, inversamente, fornecendo uma descrição completa e concreta das distribuições unidimensionais.

Decomposição de Lebesgue de uma distribuição

Qualquer distribuição na reta se divide unicamente em uma parte discreta suportada em átomos, uma parte absolutamente contínua com uma densidade e uma parte contínua singular, esclarecendo quando uma densidade de probabilidade existe e quando não.

Clinical relevance

As funções de distribuição são o que os dados empíricos estimam e o que os modelos estatísticos postulam; a função de distribuição empírica sustenta os testes de bondade de ajuste e o bootstrap, os quantis derivados da função de distribuição definem o valor em risco e os intervalos de referência, e as densidades são os objetos ajustados na maioria das inferências baseadas em verossimilhança.

History

O reconhecimento de que uma variável aleatória é simplesmente uma função mensurável e que seu comportamento é capturado por uma função de distribuição surgiu com a reformulação da probabilidade baseada na teoria da medida no início do século XX, substituindo o tratamento anterior caso a caso de distribuições particulares.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Toda variável aleatória tem uma densidade?

Não; apenas variáveis aleatórias cuja distribuição é absolutamente contínua têm uma densidade. Variáveis discretas colocam massa em pontos individuais, e distribuições contínuas singulares mais raras não têm densidade, embora não tenham átomos.

Por que a função de distribuição é definida com 'menor ou igual' em vez de 'estritamente menor'?

A convenção 'menor ou igual' torna a função de distribuição contínua à direita, que é a escolha natural que a coloca em correspondência clara com a medida de probabilidade subjacente e seus átomos.