Transformações e Momentos

Funções de variáveis aleatórias possuem distribuições próprias, encontradas por fórmulas de mudança de variáveis, e momentos e suas funções geradoras resumem uma distribuição através de sua média, variância e forma de ordem superior.

Definition

Uma transformação de uma variável aleatória é uma função mensurável dela cuja distribuição é obtida pelo "push forward" da lei original, e momentos são as expectativas das potências de uma variável aleatória que resumem a localização, dispersão e forma de sua distribuição.

Scope

O tópico abrange a distribuição de funções de uma ou várias variáveis aleatórias pelas fórmulas de mudança de variáveis e Jacobiano, momentos e momentos centrais, variância e covariância, as funções geradoras de momentos e cumulantes, as relações entre momentos, cumulantes, assimetria e curtose, e o problema do momento de quando os momentos determinam uma distribuição.

Core questions

• Como a distribuição de uma função de variáveis aleatórias é calculada a partir da distribuição original?
• O que os momentos sucessivos de uma distribuição medem?
• Como as funções geradoras codificam todos os momentos de uma vez?
• Quando os momentos de uma distribuição a determinam unicamente?

Key concepts

• mudança de variáveis e Jacobiano
• momentos e momentos centrais
• variância e covariância
• cumulantes
• problema do momento

Key theories

Fórmula de mudança de variáveis

Para uma transformação suave e invertível, a densidade da variável transformada é a densidade original avaliada no inverso, escalada pelo valor absoluto do determinante Jacobiano, que é a ferramenta padrão para derivar a lei de uma função de variáveis aleatórias.

Funções geradoras de momentos e cumulantes

Quando existe, a função geradora de momentos codifica todos os momentos através de suas derivadas na origem, e seu logaritmo, a função geradora de cumulantes, possui cumulantes que se somam sobre variáveis independentes, simplificando o estudo de somas.

O problema do momento

Os momentos determinam uma distribuição unicamente sob condições de crescimento como as de Carleman, mas distribuições de cauda pesada como a log-normal podem compartilhar todos os momentos com outras, de modo que os momentos nem sempre caracterizam uma lei.

Clinical relevance

Transformações e momentos são ferramentas cotidianas da probabilidade aplicada: derivar a distribuição de uma quantidade transformada apoia a simulação e a propagação de erros, os momentos fornecem as médias, variâncias e correlações usadas em toda a estatística e teoria de portfólio, e a assimetria e curtose sinalizam desvios da normalidade na análise de risco e controle de qualidade.

History

Momentos e o problema do momento foram centrais para o trabalho do século XIX de Chebyshev, Markov e Stieltjes, que usaram métodos de momento para provar os primeiros teoremas de limite; a técnica de mudança de variáveis para densidades é a contraparte probabilística da regra de substituição do cálculo.

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

Os momentos de uma distribuição sempre a determinam?

Nem sempre; sob condições de crescimento nos momentos, sim, mas algumas distribuições, como a log-normal, compartilham todos os momentos com distribuições distintas, de modo que a sequência de momentos pode falhar em definir a lei.

Por que introduzir cumulantes juntamente com momentos?

Os cumulantes se somam sobre variáveis aleatórias independentes, comportando-se de forma mais simples para somas do que os momentos; o segundo cumulante é a variância e cumulantes de ordem superior medem desvios da normalidade, todos os quais desaparecem acima da segunda ordem para a distribuição normal.