変換とモーメント

確率変数の関数はそれ自身の分布を持ち、それは変数変換の公式によって求められます。また、モーメントとその母関数は、平均、分散、および高次の形状を通じて分布を要約します。

Definition

確率変数の変換とは、その可測関数であり、その分布は元の法則を押し進めることによって得られます。モーメントとは、確率変数のべき乗の期待値であり、その分布の位置、広がり、形状を要約するものです。

Scope

このトピックでは、1つまたは複数の確率変数の関数の分布を、変数変換およびヤコビアンの公式、モーメントと中心モーメント、分散と共分散、モーメント母関数とキュムラント母関数、モーメント、キュムラント、歪度、尖度の間の関係、およびモーメントが分布を決定するモーメント問題について扱います。

Core questions

• 確率変数の関数の分布は、元の分布からどのように計算されますか？
• 分布の連続するモーメントは何を測定しますか？
• 母関数はどのようにしてすべてのモーメントを一度に符号化しますか？
• 分布のモーメントはいつその分布を一意に決定しますか？

Key concepts

• 変数変換とヤコビアン
• モーメントと中心モーメント
• 分散と共分散
• キュムラント
• モーメント問題

Key theories

変数変換の公式

滑らかな可逆変換の場合、変換された変数の密度は、逆関数で評価された元の密度を、ヤコビアン行列式の絶対値でスケーリングしたものであり、これは確率変数の関数の法則を導出するための標準的なツールです。

モーメント母関数とキュムラント母関数

存在する場合、モーメント母関数は原点におけるその導関数を通じてすべてのモーメントを符号化し、その対数であるキュムラント母関数は、独立変数に対して加算されるキュムラントを持ち、和の研究を簡素化します。

モーメント問題

モーメントは、カルレマンの条件などの成長条件の下で分布を一意に決定しますが、対数正規分布のような裾の重い分布は、他の分布とすべてのモーメントを共有する可能性があるため、モーメントが常に法則を特徴付けるわけではありません。

Clinical relevance

変換とモーメントは、応用確率論における日常的なツールです。変換された量の分布を導出することは、シミュレーションと誤差伝播をサポートし、モーメントは統計学やポートフォリオ理論全体で使用される平均、分散、相関を提供します。また、歪度と尖度は、リスクおよび品質管理分析における正規性からの逸脱を指摘します。

History

モーメントとモーメント問題は、チェビシェフ、マルコフ、スティルチェスによる19世紀の研究の中心であり、彼らはモーメント法を用いて初期の極限定理を証明しました。密度の変数変換の技術は、微積分学における置換規則の確率論的対応物です。

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

分布のモーメントは常にその分布を決定しますか？

常にそうとは限りません。モーメントに関する成長条件の下では決定しますが、対数正規分布のような一部の分布は、異なる分布とすべてのモーメントを共有するため、モーメント列が法則を特定できない場合があります。

モーメントと並行してキュムラントを導入する理由は何ですか？

キュムラントは独立な確率変数に対して加算されるため、和に対してモーメントよりも単純な振る舞いをします。第2キュムラントは分散であり、高次のキュムラントは正規性からの逸脱を測定し、正規分布の場合、2次より上のすべてのキュムラントはゼロになります。