確率変数と分布関数

確率変数とは、確率空間から実数直線への可測写像であり、その分布関数（変数が与えられた水準を超えない確率）は、その値がどのように分布しているかを記述する普遍的な方法である。

Definition

確率変数とは、確率空間から実数への可測関数であり、その分布関数は、各実数に対して、変数がそれ以下の値をとる確率を対応させる。

Scope

このトピックでは、実数値およびベクトル値確率変数の可測性、累積分布関数とその単調性、右連続性、極限といった定義特性、分布関数と実数直線上の確率測度との対応関係、密度関数と離散部分、絶対連続部分、特異部分へのルベーグ分解、および周辺分布を伴う確率ベクトルの同時分布について扱う。

Core questions

• 標本空間上の関数が確率変数であるとはどういう意味か？
• 累積分布関数を特徴づける特性は何か、またそれはどのように分布を決定するのか？
• 分布が密度関数を持つのはどのような場合か、またその代替案は何か？
• 複数の確率変数の同時分布と周辺分布はどのように関連しているのか？

Key concepts

• 可測関数
• 累積分布関数
• 確率密度
• ルベーグ分解
• 同時分布と周辺分布

Key theories

分布関数の対応

実数直線上のすべての確率測度は、一意の非減少、右連続な分布関数に対応し、その極限はゼロと1である。逆もまた然りで、1次元分布の完全かつ具体的な記述を提供する。

分布のルベーグ分解

実数直線上の任意の分布は、原子上に支持される離散部分、密度関数を持つ絶対連続部分、および特異連続部分に一意に分解され、確率密度が存在する場合と存在しない場合を明確にする。

Clinical relevance

分布関数は、経験的データが推定し、統計モデルが仮定するものであり、経験的分布関数は適合度検定とブートストラップの基礎となり、分布関数から導出される分位数はバリュー・アット・リスクと参照範囲を定義し、密度関数はほとんどの尤度ベースの推論で適合される対象となる。

History

確率変数が単なる可測関数であり、その挙動が分布関数によって捉えられるという認識は、20世紀初頭の確率の測度論的再定式化とともに現れ、それまでの特定の分布のケースバイケースの扱いを置き換えることになった。

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

すべての確率変数は密度関数を持つのか？

いいえ。分布が絶対連続である確率変数のみが密度関数を持ちます。離散変数は個々の点に質量を置き、より稀な特異連続分布は原子を持たないにもかかわらず密度関数を持ちません。

分布関数は厳密な不等号ではなく、なぜ「以下」で定義されるのか？

「以下」という慣習は、分布関数を右連続にするためであり、これは基礎となる確率測度とその原子との明確な対応関係を確立する自然な選択です。