可微分多様体

可微分多様体とは、局所的にはユークリッド空間のように見え、滑らかな座標変換によって貼り合わされた空間であり、曲線空間上で微分積分学を行うための舞台となります。

Definition

n次元の可微分（滑らかな）多様体とは、n次元ユークリッド空間の開集合へのチャートのアトラスを備えた第二可算ハウスドルフ位相空間であり、その遷移写像は無限回微分可能です。

Scope

このトピックでは、滑らかな遷移写像を持つチャートのアトラスを介して多様体を定義し、滑らかな構造を展開し、基本的な構成要素である部分多様体、多様体としてのレベル集合を与える階数定理と正則値定理、1の分割、およびユークリッド空間への埋め込み（ホイットニーの埋め込み定理）を扱います。また、位相構造と滑らかな構造の区別、エキゾチックな滑らかな構造の驚くべき存在、および互換性のある群演算を持つ多様体としてのリー群を紹介します。

Core questions

• チャートと滑らかな遷移写像は、どのようにして微分積分学を曲線空間に曖昧さなく移行させることを可能にするのでしょうか？
• 滑らかな写像のレベル集合は、いつ自然な多様体構造を持つのでしょうか？
• なぜすべての滑らかな多様体は、あるユークリッド空間に埋め込むことができるのでしょうか？
• 単一の位相多様体が、どのようにして同値ではない滑らかな構造を許容するのでしょうか？

Key concepts

• チャート、アトラス、および滑らかな遷移写像
• 滑らかな構造と部分多様体
• 正則値定理と多様体としてのレベル集合
• 1の分割とホイットニーの埋め込み定理
• 位相構造と滑らかな構造、およびエキゾチック多様体

Clinical relevance

多様体は、現代の幾何学と物理学における普遍的な舞台です。力学における配置空間と相空間、一般相対性理論における時空、対称性におけるリー群はすべて多様体であり、ミルナーによって明らかにされた滑らかな構造の微妙な点は、20世紀の位相幾何学を再構築しました。

History

リーマンの1854年の多様体の概念は、20世紀初頭のアトラスによる定義を通じて厳密化されました。1930年代のホイットニーの埋め込み定理は抽象理論の基礎を築き、1956年のミルナーによるエキゾチックな7次元球面（7-sphere）の発見は、滑らかな構造が位相を超えた情報を持つことを明らかにしました。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

多様体が単なる位相多様体ではなく、可微分であるのはなぜですか？

位相多様体はユークリッド空間へのチャートのみを必要としますが、可微分多様体は、重複するチャート間の遷移写像が滑らかであることも追加で要求します。これにより、多様体上の滑らかな関数の概念が明確に定義されます。

エキゾチック球面とは何ですか？

それは標準的な球面とは同相であるが微分同相ではない多様体です。ミルナーが7次元球面（7-sphere）上でそのような構造を発見したことは、滑らかな構造が基礎となる位相によって決定されるわけではないことを示しました。