微分形式

微分形式は、向き付けられた多様体上で積分可能な反対称な対象であり、外微分とストークスの定理は、ベクトル解析の古典的な定理を単一の記述に統合します。

Definition

滑らかな多様体上の微分k形式は、接空間上の交代k線形関数の滑らかな場であり、形式は加算、ウェッジ積による乗算、外微分による微分、および向き付けられたk次元部分多様体上での積分が可能です。

Scope

このトピックでは、微分形式の外積代数、ウェッジ積、外微分、および滑らかな写像の下での引き戻しについて展開します。向き付けと最高次形式の積分を定義し、一般化されたストークスの定理で締めくくり、閉形式が完全形式であることへの障害としてド・ラームコホモロジーを導入します。内積、カルタンの魔法の公式によるリー微分、および体積と流量への応用が全体像を完成させ、滑らかな幾何学とトポロジーを結びつけます。

Core questions

• 座標に依存せずに積分できる対象にとって、反対称性が適切な条件であるのはなぜですか？
• 外微分は、勾配、回転、発散をどのように一度に一般化するのですか？
• ストークスの定理は、微積分学の基本定理、グリーンの定理、ガウスの定理、および古典的なストークスの定理をどのように統合するのですか？
• ド・ラームコホモロジーは、完全形式ではない閉形式について何を測定するのですか？

Key concepts

• 外積代数とウェッジ積
• 外微分と引き戻し
• 形式の向き付けと積分
• 一般化されたストークスの定理
• ド・ラームコホモロジーと閉形式対完全形式

Clinical relevance

微分形式は、電磁気学（マクスウェル方程式を形式方程式として）、ハミルトン力学（シンプレクティック形式）、ゲージ理論の自然な言語であり、ド・ラームの定理を通じて微分幾何学と代数トポロジーを結びつけます。

History

グラスマンの外積代数に基づいて、カルタンは20世紀初頭に微分形式の微積分を発展させました。ド・ラームの定理（1931年）は、それらのコホモロジーと多様体のトポロジーを結びつけ、形式を幾何学とトポロジーの両方にとって中心的なものとしました。

Key figures

• Élie Cartan
• Georges de Rham
• Hermann Grassmann

Seminal works

• lee2012
• tu2011

Frequently asked questions

形式はなぜ反対称でなければならないのですか？

反対称性は向き付けを符号化し、向き付けられた多様体上での積分を座標に依存しないものにします。変数変換のヤコビアンは、ウェッジ積が生成する行列式として正確に現れます。

閉形式と完全形式の違いは何ですか？

閉形式は外微分がゼロである形式であり、完全形式は別の形式の外微分である形式です。すべての完全形式は閉形式であり、ド・ラームコホモロジーは、閉形式が完全形式でない度合いを測定します。