計量テンソルと微分幾何学

計量テンソルは時空における距離と時間を指定し、多様体の微分幾何学は、湾曲した背景上で物理学を行うために必要なツール、すなわち共変微分、接続、および曲率テンソルを提供する。

Definition

計量テンソルは、時空の区間とベクトルの内積を定義する対称な非退化の2階テンソル場であり、これから一般相対性理論の唯一のねじれのない計量適合接続とすべての曲率量が導出される。

Scope

このトピックでは、多様体と座標チャート、接ベクトルと1形式、計量テンソルと線素、添字の上げ下げ、レヴィ・チヴィタ接続とクリストッフェル記号、共変微分、および計量から構築される曲率テンソル（リーマン、リッチ、スカラー）について扱う。

Core questions

• 計量テンソルは時空に関するすべての幾何学的情報をどのように符号化しているのか？
• なぜ通常の偏微分の代わりに共変微分が必要なのか？
• 曲率テンソルは計量からどのように構築されるのか？

Key concepts

• 多様体と座標チャート
• 接ベクトルと1形式
• 計量テンソルと線素
• クリストッフェル記号
• 共変微分
• リッチ曲率とスカラー曲率

Key theories

計量と線素

計量テンソルは、近傍の事象間の二乗区間とベクトルの内積を定義するため、長さ、角度、時間、および因果関係はすべて、多様体上の単一の対称テンソル場から導かれる。

レヴィ・チヴィタ接続と曲率

計量適合性とねじれのないことは、共変微分と平行移動を定義するクリストッフェル記号を持つ一意の接続を特定し、これからリーマン、リッチ、スカラー曲率が構築される。

Clinical relevance

計量とテンソル解析は、シュワルツシルト計量やフリードマン計量のような解を書き下すことから、合体するブラックホールや中性子星をモデル化するために使用される数値相対論シミュレーションを実行することまで、一般相対性理論におけるあらゆる定量的予測のための作業ツールである。

History

リーマンは1854年にガウスの内在幾何学を高次元多様体に一般化し、その後数十年でクリストッフェル、リッチ、レヴィ・チヴィタがテンソルの絶対微分解析を構築し、アインシュタインとグロスマンが一般相対性理論を定式化するためにまさに必要とした装置を提供した。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gregorio Ricci-Curbastro
• Tullio Levi-Civita
• Elwin Bruno Christoffel

Seminal works

• wald1984
• carroll2004

Frequently asked questions

なぜ一般相対性理論には共変微分が必要なのか？

テンソル成分の通常の偏微分は、任意の座標変換の下でテンソルとして変換されない。共変微分は接続項を追加することで、微分が真のテンソルを生成し、物理法則がすべての座標系で同じ形式を保つようにする。

計量は物理的なものなのか、それとも単なる座標の便宜上のものなのか？

計量は物理的な場である。それは一般相対性理論の重力場であり、測定可能な区間と物質の運動を決定し、そのダイナミクスは自由に選択されるのではなく、アインシュタインの場の方程式によって決定される。