アインシュタイン方程式と応力-エネルギーテンソル

アインシュタイン方程式は、計量から構築される曲率量であるアインシュタインテンソルを、物質中のエネルギーと運動量の密度および流束を記述する応力-エネルギーテンソルと等しいと定めます。

Definition

アインシュタイン方程式は、G + (宇宙項) = 8πG/c^4 × T という場の方程式であり、ここでアインシュタインテンソルGは時空の曲率を符号化し、応力-エネルギーテンソルTは物質および非重力場のエネルギーと運動量の内容を符号化します。

Scope

このトピックでは、リッチテンソルとスカラーからアインシュタインテンソルを構築する方法、応力-エネルギーテンソルとその成分（エネルギー密度、運動量密度、圧力、応力）、完全流体と電磁場の例、エネルギー-運動量保存を保証する縮約ビアンキ恒等式、およびニュートンポアソン方程式への弱場還元について扱います。

Core questions

• エネルギー-運動量の保存が自動的に行われるように、アインシュタインテンソルはどのように構築されるのでしょうか？
• 応力-エネルギーテンソルにはどのような物理量が符号化されていますか？
• この方程式は弱場極限においてどのようにニュートン重力に還元されるのでしょうか？

Key concepts

• アインシュタインテンソル
• リッチテンソルとスカラー
• 応力-エネルギーテンソル
• 完全流体
• ビアンキ恒等式
• ニュートン（弱場）極限

Key theories

アインシュタインテンソルとビアンキ恒等式

アインシュタインテンソルは、リッチテンソルとスカラー曲率の唯一の発散ゼロの組み合わせであり、縮約ビアンキ恒等式により応力-エネルギーテンソルが保存されることが強制され、局所的なエネルギー-運動量保存が幾何学に組み込まれています。

重力の源としての応力-エネルギー

応力-エネルギーテンソルは、エネルギー密度、運動量、圧力、せん断応力を集約したものであり、一般相対性理論における重力の完全な源です。したがって、質量だけでなく、圧力とエネルギーも時空の曲率に寄与します。

Clinical relevance

圧力とエネルギーは重力に影響を与えるため、応力-エネルギーテンソルは、相対論的静水圧平衡を介した恒星や中性子星の構造、放射優勢および物質優勢の宇宙論的時代の挙動、特異点定理や正エネルギー定理を証明するために用いられる条件（エネルギー条件）を支配します。

History

アインシュタインは1915年に、一般共変的であり、エネルギー-運動量を保存しながらニュートン重力に還元される場の方程式を見つけるのに苦心しました。ビアンキ恒等式を通じてアインシュタインテンソルが自動的に発散ゼロであることを認識したことで、この困難が解決され、方程式の最終形が確定しました。

Key figures

• Albert Einstein
• Luigi Bianchi
• David Hilbert

Seminal works

• einstein1916
• wald1984

Frequently asked questions

なぜ一般相対性理論では圧力が重力に影響を与えるのに、ニュートン重力では影響を与えないのですか？

一般相対性理論における重力の源は完全な応力-エネルギーテンソルであり、その空間応力成分には圧力が含まれます。ニュートン極限ではこれらの項は静止質量エネルギーに比べて無視できるため、質量密度のみが現れますが、強重力場や相対論的物質においては圧力が測定可能な寄与をします。

エネルギー-運動量の保存は方程式からどのように導かれるのですか？

アインシュタインテンソルは縮約ビアンキ恒等式を満たしており、その共変発散は恒等的にゼロになります。これを応力-エネルギーテンソルに比例させると、そのテンソルが幾何学の組み込みの結果として共変的に保存されることが強制されます。