ニュートン・コーツ求積法

ニュートン・コーツの法則は、等間隔の点における被積分関数を補間する多項式を積分することによって積分を近似し、台形則やシンプソンの法則のようなよく知られた公式を与えます。

Definition

ニュートン・コーツ求積法は、積分区間にわたってノードが等間隔に配置され、対応する補間多項式を積分することによって重みが得られる補間求積法です。

Scope

このトピックでは、閉じたおよび開いたニュートン・コーツの公式、それらの厳密次数と誤差項、区間を細分することによって得られる複合台形則およびシンプソン則、リチャードソン補外法によるロンバーグ積分、および高次ニュートン・コーツ則の不安定性がその実用的な次数を制限することについて説明します。

Core questions

• 台形則とシンプソン則は、どのようにして積分された補間として導出されるのでしょうか？
• これらの法則の誤差項は何ですか？また、シンプソン則が対称性から追加の次数を得るのはなぜですか？
• 複合法則とロンバーグ補外法は、どのようにして精度を体系的に向上させるのでしょうか？
• 高次ニュートン・コーツ則が不安定になるのはなぜですか？また、その使用を制限するものは何ですか？

Key theories

厳密次数と誤差項

台形則は線形被積分関数に対して正確であり、誤差は2次導関数に比例します。一方、シンプソン則は対称性により3次関数に対して正確であり、誤差は4次導関数に比例するため、補間次数を超えた次数を得ます。

複合法則とロンバーグ積分

多くの部分区間で基本法則を適用すると、誤差がステップサイズに対して多項式的に減少する複合法則が得られます。複合台形則のリチャードソン補外法は、急速に収束するロンバーグスキームを生成します。

Mechanisms

各基本法則は、等間隔の補間を正確に積分します。台形則は直線近似を積分し、シンプソンの法則は放物線を積分します。複合法則は区間を分割し、各部分で基本法則を合計するため、ステップサイズを半分にすると誤差が予測どおりに減少します。ロンバーグ積分は、連続的に半分にされたステップサイズでの複合台形推定値を表にし、繰り返しのリチャードソン補外法を適用して、主要な誤差項を打ち消し、滑らかな被積分関数に対して高次の精度を達成します。高次の単一区間ニュートン・コーツ法則は、ルンゲ現象を反映して、符号が混在する大きな振動する重みを取得し、これが相殺と不安定性を引き起こします。

Clinical relevance

ニュートン・コーツの法則、特に複合台形形式とシンプソン形式は、被積分関数のサンプルが自然に等間隔である場合（例えば、表形式の実験データ、時系列積分、単純なシミュレーションの後処理など）のデフォルトの低コスト求積ツールであり、ロンバーグ積分は、最小限のコーディングで滑らかな関数に対して正確な結果を提供します。

History

これらの法則は、18世紀初頭のニュートンとコーツ、そしてその名が冠されているトーマス・シンプソンに由来します。ヴェルナー・ロンバーグの1955年の補外法は、初等的な台形則を高精度な手法に変え、標準的な教育および計算ツールとして残っています。

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

シンプソン則が台形則よりも正確なのはなぜですか？

シンプソン則は、2点を通る直線ではなく、3点を通る放物線を当てはめます。また、対称性により3次多項式を正確に積分するため、その誤差は4次導関数に依存し、ステップサイズが減少するにつれてはるかに速く減少します。

なぜ非常に高次のニュートン・コーツ則を使用しないのですか？

等間隔のノードにおける高次のニュートン・コーツ則は、符号が交互に現れる大きな重みを持ち、数値的な相殺と不安定性を引き起こします。実際には、複合低次法則、ロンバーグ補外法、またはガウス求積法が代わりに用いられます。