数値積分

数値積分、または求積法は、関数値の重み付き和によって定積分を近似する手法であり、逆導関数が利用できない場合や、被積分関数が標本点でのみ既知である場合に正確な値を提供する。

Definition

数値積分とは、被積分関数の値の有限な重み付き結合（求積法と呼ばれる）によって定積分を近似することであり、その精度の解析を伴う。

Scope

この分野は、多項式補間（ニュートン・コーツ）を積分することによって構築される補間求積法、直交多項式に基づく最適次数のガウス求積法、誤差を自動的に制御する複合的および適応的スキーム、および精度と収束を支配する誤差解析を扱う。多次元積分は、これらの一次元基礎の拡張として扱われる。

Sub-topics

• Adaptive Quadrature
• Gaussian Quadrature
• Newton-Cotes Quadrature

Core questions

• 多項式補間から求積法はどのように構築され、その精度は何によって決定されるか？
• 求積法の厳密次数とは何か、そしてガウス求積法は与えられた点数に対してそれをどのように最大化するか？
• 複合的および適応的戦略は、区間全体で誤差をどのように制御するか？
• 被積分関数の滑らかさは、求積法の収束率をどのように支配するか？

Key theories

補間求積法

選択されたノードで被積分関数を補間する多項式を積分すると、ラグランジュ基底関数の積分が重みとなる求積法が得られる。この方法は、補間次数までのすべての多項式に対して厳密である。

ガウス求積法と直交多項式

ノードを直交多項式の根として選択すると、次数2n-1までの多項式に対して厳密なn点求積法が生成される。これは可能な最大次数であり、最適な求積法と直交多項式の理論を結びつける。

適応的誤差制御

異なる次数の求積法または細分化された区画からの推定値を比較することで誤差推定値が得られ、それが自動的な細分化を駆動し、被積分関数が急速に変化する箇所に計算努力を集中させる。

Clinical relevance

求積法は、積分が閉形式で評価できないあらゆる場所で必要とされる。例えば、確率統計における期待値と正規化定数の計算、有限要素法における要素積分の評価、物理シミュレーションにおける放射および力の寄与の合計、計算金融における金融商品の価格設定などである。求積法の選択は、精度と（しばしば高価な）被積分関数の評価回数とのトレードオフとなる。

History

古典的な補間求積法はニュートンとコーツに遡り、ガウスは1814年に彼の最適次数求積法を導入した。コンピュータ時代には、自動適応アルゴリズムと高品質のソフトウェアライブラリが加わり、困難な被積分関数に対する求積法の条件付けと安定性への関心が再燃した。

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Philip J. Davis

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

逆導関数を見つける代わりに数値積分が必要となるのはどのような場合か？

多くの被積分関数は、初等関数で表現できる逆導関数を持たず、実際には被積分関数がデータとして、またはシミュレーションの出力としてのみ利用可能な場合がある。どちらの場合も、求積法は関数値から直接積分を推定する。

ガウス求積法が非常に効率的であるのはなぜか？

ノードと重みの両方を最適に配置することで、n点ガウス求積法は次数2n-1までの多項式を厳密に積分する。これは同数の点を持つニュートン・コーツ求積法の2倍の次数であり、滑らかな被積分関数に対して少ない関数評価で高い精度を達成する。