オイラー＝ラグランジュ方程式
オイラー＝ラグランジュ方程式は、積分汎関数を極値化する関数が満たさなければならない微分方程式であり、変分法の中心的な必要条件である。
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Definition
関数とその導関数に依存するラグランジアンの積分によって与えられる汎関数に対し、オイラー＝ラグランジュ方程式は、ラグランジアンの関数に関する偏導関数が、その関数の導関数に関する偏導関数の独立変数に関する導関数に等しいことを述べる。
Scope
このトピックでは、汎関数の第一変分とその消失条件、オイラー＝ラグランジュ方程式の導出、変分法の基本補題、自然境界条件と本質的境界条件、ベルトラミの恒等式などの第一積分、および複数の関数、高階導関数、多重積分への一般化について扱う。
Core questions
- 汎関数の極値はどのような方程式を満たさなければならないか？
- この条件は第一変分からどのように導出されるか？
- この方程式にはどのような境界条件が付随するか？
- 第一積分は結果として得られる方程式をいつ簡略化するか？
Key theories
- 第一変分と定常性
- 汎関数の第一変分をすべての許容される摂動に対してゼロに設定することと、変分法の基本補題を組み合わせることで、オイラー＝ラグランジュ方程式が得られる。
- 自然境界条件
- 終点が固定されているのではなく自由である場合、第一変分の消失は、微分方程式自体に加えて、極値関数に追加の自然境界条件を課す。
- 第一積分とベルトラミの恒等式
- ラグランジアンが独立変数に明示的に依存しない場合、保存量であるベルトラミの恒等式により、2階方程式が1階方程式に還元される。
Clinical relevance
オイラー＝ラグランジュ方程式は、変分原理を解ける微分方程式に変換し、ラグランジュ力学における運動方程式、幾何学における測地線方程式、弾性学、光学、場の理論における支配方程式を導出する。
History
オイラーは1744年に幾何学的にこの方程式を導出し、ラグランジュは1755年頃に自身の代数的な変分法を通じて導出を再構築し、方程式に現代的な形式と名称を与えた。その後、ネーターはラグランジアンの対称性と保存量をこの方程式を通じて結びつけた。
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- Emmy Noether
- Eugenio Beltrami
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
Frequently asked questions
- なぜオイラー＝ラグランジュ方程式は必要条件に過ぎないのか？
- この方程式は、汎関数が定常となる関数、すなわち臨界点のアナログを特定するが、そのような点は最小値、最大値、またはそのいずれでもない可能性がある。どれであるかを判断するには、第二変分を調べたり、凸性や直接法の議論を適用したりする必要がある。
- 自然境界条件とは何か？
- 比較関数の終点が固定されていない場合、第一変分が消失するためには、それらの終点において境界項から導かれる追加の条件が必要となる。これらの自然境界条件は、変分原理から自動的に現れるものであり、課されるものではない。