ネーターの定理と対称性

ネーターの定理は、系の作用の連続的な対称性にはそれぞれ保存量が対応し、保存則に深い構造的起源を与えることを確立している。

Definition

ネーターの定理は、作用を不変にする連続的な1パラメータ対称性ごとに、系の運動に沿って保存される対応する量が存在すると述べている。

Scope

このトピックでは、力学系におけるネーターの定理の記述と意味、特定の対称性と特定の保存則との対応付け、時間並進不変性とエネルギー、空間並進不変性と線運動量、回転不変性と角運動量、およびラグランジアンに作用する連続対称群の一般的な概念について扱う。

Core questions

• 対称性が作用を不変にするとはどういう意味か？
• 並進、回転、時間並進の対称性には、どの保存量が対応するか？
• 保存則の対称性起源が古典力学を超えて重要であるのはなぜか？

Key concepts

• 連続対称性
• 作用の不変性
• 保存量（運動の定数）
• 時間並進不変性とエネルギー
• 並進不変性と運動量
• 回転不変性と角運動量

Key theories

ネーターの定理

作用の各連続対称性は保存流または保存量を生み出し、古典的な保存則が導かれる単一の原理を提供する。

対称性-保存の対応

時間並進に対する不変性はエネルギー保存を与え、空間並進に対する不変性は線運動量保存を与え、回転に対する不変性は角運動量保存を与える。

Clinical relevance

対称性-保存の原理は現代物理学全体にわたる基礎であり、ゲージ対称性が保存電荷を生成する場の理論や素粒子物理学において保存則を体系化し、対称性の要件から物理理論を構築する指針となっている。

History

エミー・ネーターは、1918年にゲッティンゲンでクラインやヒルベルトと一般相対性理論におけるエネルギー保存について研究していた際に、彼女の定理を証明した。彼女の結果は、これまで個別に確立されてきた古典的な保存則がすべて、作用の連続的な対称性から生じることを明らかにし、この統一は20世紀の物理学の中心となった。

Key figures

• Emmy Noether
• Felix Klein
• David Hilbert

Seminal works

• noether1918
• arnold1989

Frequently asked questions

ネーターの定理は古典力学にのみ適用されるのか？

いいえ。これは変分系に関する一般的な結果であり、古典場の理論にも等しく適用され、その量子的な類推では、素粒子物理学における保存電荷と選択則の根底にある。

エネルギー保存をもたらす対称性とは何か？

時間における並進に対する系の不変性、つまり法則が瞬間ごとに変化しないことは、ネーターの定理によってエネルギー保存に対応する。