変分法
変分法は、積分汎関数を極値化する関数を探索するものであり、点から曲線や場への通常の最大化・最小化を一般化したものです。
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Definition
変分法は、関数に数値を割り当てる汎関数を研究し、境界条件および付帯条件の下で、汎関数が停留するか極値をとる関数を探索します。
Scope
この分野は、極値の必要条件としてのオイラー・ラグランジュ方程式の導出、制約条件および自由境界を持つ変分問題、最小値に対する第二次変分および凸性条件、最小値の存在を確立する直接法、そしてハミルトン力学および最適制御との関連を扱います。
Sub-topics
Core questions
- 与えられた積分汎関数を停留させる関数はどれか？
- 最小値を特定するための必要十分条件は何か？
- 最小値は実際にいつ存在するのか？
- 変分原理は物理法則をどのように符号化しているのか？
Key theories
- オイラー・ラグランジュ方程式
- 積分汎関数を極値化する関数は、導関数をゼロに設定することの変分的な類推であるオイラー・ラグランジュ微分方程式を満たさなければなりません。
- 直接法
- 最小値の存在は、最小化列を取り、コンパクト性と下半連続性を用いることで確立され、オイラー・ラグランジュ方程式の明示的な解法を回避します。
- 物理学における変分原理
- ハミルトンの最小作用の原理は、力学と場の理論を変分問題として再構築し、変分法を通じてそれらの支配方程式を統一します。
Clinical relevance
変分法は、最小作用の原理や最小エネルギーの原理を通じて、物理学における基本的な法則を表現し、最適制御、最小曲面や測地線の幾何学、画像処理、および工学における有限要素法の基礎となっています。
History
この主題は、1696年にヨハン・ベルヌーイが提起した最速降下線問題に始まります。18世紀にはオイラーとラグランジュが一般理論とオイラー・ラグランジュ方程式を発展させ、ハミルトンは力学を変分的に再構築しました。20世紀にはヒルベルトの直接法と彼の23の問題が、存在理論を再活性化させました。
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- 変分法は通常の微分積分学とどう異なりますか？
- 通常の微分積分学は、関数が最大または最小となる点を見つけるのに対し、変分法は、積分を極値化する曲線や曲面といった関数全体を見つけます。未知のものは数値ではなく関数であり、極値の条件は微分方程式です。
- 最小作用の原理とは何ですか？
- これは、系の運動が作用と呼ばれる量を停留させるという物理的な記述です。作用に変分法を適用すると運動方程式が得られるため、古典物理学と量子物理学の多くは単一の変分原理から導き出すことができます。